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1、第十章 常微分方程数值解,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,第二节 高精度的单步法,第三节 线性多步法,第四节 一阶微分方程组的解法,第五节 边值问题的打靶法和差分法,考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等
2、距节点，即取 hi = h (常数)。,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,数值解,(10-1),一、初值问题的数值解,求解(10-1)最基本的方法是单步法,单步法:从初值 开始,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的 ，是一种逐点求解的离散化方法。,典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:,例:求解常微分方程初值问题,由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.,依次计算结果如下,二、构造初值问题数值方法的基本途径,以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径,1. 数值微分法,用差商代替微商,亦称为欧拉折线法,2. Taylor展开法,忽略高阶项,取近似
3、值可得到Euler公式,3. 数值积分法区间,将 区间 积分,隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,三、Euler法的改进及梯形公式,梯形公式 /* trapezoid formula */, 显、隐式两种算法的平均,中点欧拉公式 /* midpoint formula */,改进欧拉法 /* modified Eulers method */,注：此法亦称为
4、预测-校正法 /* predictor-corrector method */。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,yn1,四、单步法的误差分析和稳定性,1. 整体截断误差和局部截断误差,整体截断误差:数值解 和精确解 之差,整体截断误差除与 步计算有关外,还与 的计算 有关,分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:,其中 称为增量函数。如对于Euler公式其增量函数,称为单步法在点 处的局部截断误差。,欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开:,欧拉法具有 1 阶精度。,类似可以证明改进的Euler
5、方法具有2阶精度,2. 收敛性和整体截断误差,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x = xn = nh ，有,关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理,定理:对IVP(10.1)式的单步法 , 若局部截断误差为 ,且函数 对y 满足Lipschitz条件,即存在L0,使得,对一切 成立,则该方法收敛,且有,由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶,对改进的Euler法,于是有,设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得,限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.,例：考察初值问题 在区
6、间0, 0.5上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,3. 稳定性,定义,若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对
7、稳定的 /*absolutely stable */。,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程 /* test equation */,常数，可以是复数,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,第二节 高精度的单步法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Kutta法的基本思想（3）,二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,两点说明:,五、变步长的龙格库塔方法,R-K方法的绝对稳定区域,04年：设f(x)四阶连续可导， 试建立如下数值微分公式 并推导该公式的截断误差。,解：,05年：设f(x)四阶连续可导， 试建立如下数值微分公式 并推导该公式的截断误差。,解：,(1),(2),06年：已知是非线性方程f(x)=0的二重根，试构造至少二阶收敛的迭代格式,07年:数值微分公式 的截断误差为,07年：解初值问题,的改进的欧拉法是 阶方法。,2,
