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1、问题：数学思维活动的载体张乃达在文1中，我们已经指出，数学是数学文化传统下的思维活动，思维与文化是数学活动的双翼，也是数学教育的双翼!因此，关于数学教学的讨论可以从思维和文化这两个层面展开。在这里我们将紧紧围绕着数学教学的实际，通过数学教师的视角进行这方面的讨论。一般认为，问题是思维活动的载体，观念则是文化系统的核心。因而，问题与观念分别是思维研究和文化研究中的核心概念，现在，我们就从这两个概念开始进行有关的讨论。1 问题：数学(思维)活动的载体11 研究的方法我们每个人都有思维的经验，这些经验就是进一步研究思维的基础。它可以帮助我们弄清思维是什么?它是怎样发生的?又是怎样发展的? 思维有什么
2、规律了等等问题。我们认为，作为数学教师，要充分地利用自身的和学生思维的经验，要养成分析思维活动的习惯，并在此基础上进行哲学的思考。我们认为，分析思维活动的能力是数学教师最重要的能力，它的作用不仅充分地体现在具体的教学活动中，而且也体现在理论研究中。因此，我们将把案例分析基础上的思辨研究当成数学教师进行教学研究的主要方法。12 思维和问题在心理学中，思维是指大脑对客观事物间接的、概括的反映，是在人脑中进行的高级神经活动，是“社会约定的，与语言密切关连而不可割裂的寻找和发现从本质上说属于新东西的过程。 ”1，可是，实际上我们很少去“抠”思维的 “定义” ，对我们来说， “思维”就是想“问题” ，就
3、是动脑筋事实上，绝大多数人，在多数场合下，都是在这种意义下使用“思维”这个术语，并进行交流和讨论的。这种把思维和问题紧紧捆绑在一起的认识是建立在个人“思维”经验的基础上的。这种体验告诉我们，思维总是和问题紧密联系在一起的，没有问题就没有思维!思维总是为了提出问题和解决问题的!作为数学教师，我们除了关心一般的“思维”的意义以外，还关心“数学思维”的意义，我们经常使用“数学思维”这个术语，可是它究竟表示什么样的意思呢?在数学思维教育学中，我曾经尝试给数学思维下了定义：“所谓数学思维，就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的一般性认识的思维过程。
4、 ”在这个定义中特另怔调了数学思维与问题的关系，指出了提出问题和解决问题是数学思维活动的主要表现形式。我至今认为这种认识是符合数学发展的历史，正确地反映了数学的特点的。在文1中，我们提出了“数学是数学文化背景下的思维活动 ”的论断。事实上，根据上述论断就可以把数学思维或“数学地思维”理解为数学文化背景下的思维活动，即数学思维是符合现代数学文化规范的思维活动，它在思维的内容、形式、价值观、方法、模式、语言、表现形式等诸多方面都体现了自己的特点，这些特点是在长期的数学思维活动中形成的传统，也是数学思维活动的规范，这其中当然包含着把“问题”看成是数学的心脏的传统认识和历史。13 问题是思维的载体问题
5、或者说数学问题是数学思维研究中的中心概念，它是数学思维的胚胎，数学思维中的一切活动都是围绕着它展开的。因此，我们可以把问题当成考察和研究思维的切入口，随着问题在数学思维活动中的轨迹，进行对数学思维活动的研究。 问题是思维活动的载体，这是对问题与思维关系的概括。对此，我在数学思维教育学中作了如下的阐述：首先，问题是推动思维发展的动力从宏观上说，问题推动了数学科学的发展，决定了数学发展的方向，正如希尔伯特在其数学问题的讲演中所指出的：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。”所以人们形象地说：问题是数学的心脏!“问题是思维的动力，并为思维指出了
6、方向解决问题则成为思维的目的。 ”“数学思维过程就是不断提出问题、解决问题的过程。 ”“提出问题(猜想)是数学探索活动中的关键环节，新的数学问题 (猜想)的出现，既表现为数学思维的进展，同时又为更深入的数学思维活动提供了动力和规划了方向。 ”“数学知识是数学问题的结果，数学知识体系则是数学问题的体系。 ”“数学方法、观点、思想是在解决数学问题过程中形成的具有一般性的观念系统。 ”“数学能力则是在数学思维过程中，在观念系统建构过程中形成的心理特征。 ”因此， “数学问题对思维活动的全过程，包括思维的点火、起动，到定向、展开，直到成果的获得与否，都起着决定性的影响，离开了数学问题，则就无所谓的数学
7、思维，至少没有专注的数学思维。 ”所有这一切，都说明了问题对数学思维活动的重要性，说明了没有问题就没有思维，没有数学，也就没有了数学的价值，当然更没有了数学教育的价值。可是，问题又是怎样产生的呢?我们的回答是：问题是思维活动的产物，是思维的成果，是思维的创造。因此，离开了思维也就没有了问题。一般说来，数学问题主要来自两个渠道第一，在实际问题的基础上，进行抽象、概括等思维操作而形成；第二，从原有数学知识结构的基础上，通过逻辑和直觉的手段而获得。不管问题来自哪一个渠道，数学问题本身就是对现实世界的空间形式和数量关系的一种概括，数学问题总是数学思维的产物。通过上述两方面的分析，我们得到了如下的结论：
8、问题是思维活动的载体! 数学问题既是数学思维的产物，又是数学思维的动力和材料，因此，数学问题是数学思雏的载体。正是借助于这个载体，数学思维的辩证运动过程才得以深入地展开和进行。因此，对数学问题的分析对提出问题和解决问题的过程的分析，就构成了数学思维教育学研究的完整的框架。对问题的认识和理解也是科学地进行数学教学的关键。2 对问题的理解21 关于问题一般地说，问题就是矛盾，就是疑难。波利亚认为，困难就是问题 “哪里没有困难，哪里就没有问题。 ”他说， “一个涌上脑际的念头，倘若毫无困难地通过一些明显的行动就达到了所求的目标，那就不产生问题。然而，倘若我想不出这样的行动来，那就产生了问题。 ”而解
9、决问题就“意味着去找出这样的行动” 。在理解问题这个概念时，重要的是把问题和题目区分开来。用系统论的语言说，问题是由解题主体和题目构成的系统。只有解题者意识到面临的疑难，接受了题目提出的挑战，并打算解决它以后，题目才成为问题。因此，一个题目是否会成为问题，是由能不能激发起解题者的思维活动为条件的。22 问题与思维活动在我们的经验中，思维活动总是和解决问题、提出问题联系在一起的。上述认识也得到了心理学的支持思维心理学认为：问题性是思维的第一位特性。由于思维是寻找和发现从本质上说属于新东西的过程，因此思维总是由问题引起，并围绕着问题展开的，因此，可以说没有问题就没有思维，至少说没有积极的专注的思维
10、。问题在思维活动中起着如下的作用：第一、(动力性)问题对思维具有激励作用，因此，问题是探索活动的动力；第二、(目标性)问题对思维具有定向作用，因此，问题是探索活动中的路标和灯塔。第三、(社会性)问题具有聚焦的作用，因此问题可以把大家的注意力集中于一点，使人们的思维活动有了相同的目标。通过深入的交流，会产生共同认可的价值，以至共同的观念，使问题具有社会性，打上历史的文化的烙印，使解题活动再也不是完全个体的行为了(对此，我们将另文作专题论述) 。从下面的讨论中，我们可以看到，正是问题的上述性质使它在教学活动特别是数学教学活动中占据了中心的地位，从而使问题成为数学教学的载体。23 问题和科学发现活动
11、在前面我们已经指出，问题是思维活动的载体，这一点同样在科学发现活动中得到证实我们常常不自觉地把观察看成是科学发现活动的开始今天仍然有很多教师持有这样的认识，可是，这是一个似是而非的错误观点。现代科学哲学认为，科学探索不始于观察，也不始于理论，而始于问题始于由观察与理论相互作用而形成的问题和矛盾。一般地说，问题的产生虽然与观察事实有关，但是真正重要的是要由观察引出问题。只有从新现象的观察中进一步提出问题，并且带着问题进行观察，才能真正进入科学研究工作。随着科学水平的提高，科学研究的难度增大，从理论中发现问题并由此推进科学研究的情况愈来愈多。因此，科学探索的逻辑起点是问题，探索的过程就是：提出问题
12、解决问题提出新问题的过程。科学的历史就是问题与解答的历史，从问题到解答，从新的问题到新的解答，不断地提出更加有意义、更加复杂的问题，不断地探求更加普遍、更加深刻的解答。只要有人类认识世界、改造世界的实践活动，就会有问题提出，就会有解答问题的探索过程。科学理论并不是简单地直接从经验事实中归纳出来的，科学理论的发现过程是提出问题解决问题的过程。3强调问题在科学发现活动中的作用的实质就是强调思维在科学发现活动中的作用，希望上述论述对实际的数学教学活动会有帮助。24 问题是数学的心脏如果说，问题对于一般的科学研究而言是重要的话，那么，问题对数学有着更重要的意义!几乎每个数学教师都知道哈尔莫斯的名言“问
13、题是数学的心脏!”他说：数学到底是由什么组成的?是各种公理(如平行公设) 吗?是各种定理(如代数基本定理)吗? 是各种证明(如哥德尔不可判定性定理的证明 )吗?是各种定义(如门格对维数的定义)吗?是各种理论(如范畴论)吗? 是各种公式 (如柯西积分公式)吗?是各种方法 (如逐次逼近法)吗?没有以上这些组成部分，数学当然也就不存在了，它们都是必不可少的。然而，这些组成部分中没有一个是数学的心脏。数学家之所以得以存在的主要原因在于解决各种问题，故而真正构成数学的是问题和问题解决。这个观点是站得住脚的。4为什么问题对数学来说会显得特别重要呢?这是因为，从本质上说，数学就是一种思维活动。和自然科学不同
14、，数学研究的对象都是人类思维的创造物，离开了思维也就无所谓数学了。 其实，早在 1900 年，希尔伯特在他的著名的报告中就深刻地阐述了问题对科学发展，特别是数学科学发展的重要意义。他说：某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。5由此可见，问题对于数学思维活动更具有特别重要的意义。数学问题是数学思维
15、活动的载体!离开了问题就谈不到数学思维，也就谈不到数学 活的数学! 3 问题也是数学教学活动的载体现在我们来讨论问题和数学教学活动的关系。我们认为，问题是数学思维活动的载体，相应地，问题也应该是数学教学活动的载体。对实际的数学教学而言，这应该是一个非常有价值的结论。31 对一个案例的再讨论(1)讨论的主题在文1)中，我们对“向量加法”的两个不同的教学设计着重从教育观的层面进行了比较和分析，指出数学学习过程是一个“意义赋予”和“文化继承”的过程。现在我们再从具体的教学设计层面着重考察问题在教学活动中的作用。具体地，我们来看看，在实际的教学中学生是怎样完成“意义赋予”和“文化继承”的任务的?(2)
16、教学过程简介课是从教师提出问题开始的。中心问题：你能以位移合成、力的合成等物理运算为原型抽象出新的数学运算吗?评注 这是一个比较抽象的问题，面对着它学生会有很多的想法，比如：什么是力的合成?什么是位移的合成? 它们与数学运算有什么关系? 等等，但是学生却很难对这个问题作出具体的回答。其实，教师本来就没有指望学生能直接给出问题的答案!因为教师知道学生并不具备解决这个问题的能力教师提出这个问题是为了给下面的问题 1 和问题 2 提供背景，让学生明白研究问题 1 和问题 2 的目的，从而把学生的注意力集中到“建构数学运算”这个目标上来。所以说，下面两个更具体的问题才是教师希望学生回答的问题，才是教学活动的起点。问题 1；游船先从景点 O 到景点 A，然后再从景点 A 到景点 B，这里的位移OA，AB，OB 之间有什么关系呢?问题 2：两根拉索对塔柱的拉力分别为 F1，F2，它们的合力是 F，那么 Fl，F2 和 F 之间有什么关系呢
