习题课(23)

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1、习 题 课 二 十 三二、选择题1 设C是圆周,则( D )。(A)0;(B)1;(C);(D)。解:C的极坐标方程为,。另解:设C的线密度,则C的质量,且,故。2:,则有( C )(A); (B);(C); (D)。解:,且在x,y,z具有轮换对称性,故应选(C)。3圆柱面被圆柱面所截部分的面积为(A). (A) 8a2, (B) 4a2, (C)2a2, (D) a2.解:由图形的对称性可知,圆柱面被圆柱面所截部分的面积为它位于第一卦限内的部分S的面积S的8倍,S在xOy平面内的投影为, S的方程为, 。另解:在第一卦限内两圆柱面的交线为,S在xOz平面内的投影曲线为L: , 则。故圆柱面

2、被圆柱面所截部分的面积为。二、填空题1设,则在柱面坐标系下的三次积分为 ;在球面坐标系下的三次积分为。2质量均匀分布的球体:对z轴的转动惯量为。解:设密度为1,则。另解:。3为,则。解:对x,y,z具有轮换对称性,。4设L为圆锥螺线, 。解:。三、解答题1求曲面,所围成的立体的体积。解: 。2计算三重积分,其中是由曲线绕z轴旋转一周所生成的曲面所围成的区域。解:旋转曲面:, 。3计算, 其中W为由半椭球面与锥面所围成的区域。解:两曲面的交线在xoy面上的投影曲线为,故W在xoy面上的投影区域为。原式=,作广义极坐标变换:,则, ,原式=。4S是椭球面的上半部分,点, 为S在点M处的切平面,求。解:,则,点到平面,S的方程为, ,S在投影区域,。三、应用题1 计算球面上的三角形的边界曲线的形心坐标。解:边界曲线,:;:;:。边界曲线的长度,由对称性知:, 所求形心为。2球体内,各点处的密度等于该点到原点距离的平方,试求这球体的质心。解:密度函数,由对称性知:,。所求质心为。 6

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