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1、2006 年上学期逻辑导论期末考试系别 姓名 学号一、把下列语句翻译为谓词逻辑的公式，设个体域为全域（20 分）：1北京大学是中国最好的大学。（要求：不把“最好”当性质）解：令 U 表示“中国的大学”，B 表示“比好 ”，则该语句翻译为：U(a) x(U(x) xaB(a, x)2有最小的自然数，但没有最大的自然数。解：N：自然数；R：；S：x(N(x) y(N(y)R(x, y) x(N(x)y(N(y)S(x, y)3每个人都有唯一的母亲，但并非每位母亲都有唯一的子女。解：H：人；M(x, y)：x 是 y 的母亲。x(H(x)y(M(y, x)z(M(z, x)zy) x(y(M(x,
2、y)z(M(x, z)zy)4有些学生尊敬所有的老师，所以，所有老师都有学生尊敬。解：S：学生； T：老师；R：尊敬x(S(x)y(T(y) R(x, y) x(T(x)y(S(y)R(y, x)二、用一阶树形图判定下列公式或推理是不是普遍有效的（15 分）：（1）x(F(x)G(x) xF(x) xG(x)解：(x(F(x)G(x)xF(x) xG(x) x(F(x)G(x)(xF(x) xG(x) xF(x) xG(x) F()G()F()G() F() G() F()G() F() G() 结论：图已经画完，有一个不闭的枝，因此，带否定号的公式可满足，原公式不是普遍有效式。（2） ( x
3、F(x)xG(x)x(F(x)yH(y)G(x)解：(xF(x) xG(x)x(F(x)yH(y)G(x) (xF(x)xG(x) (x(F(x) yH(y)G(x) (F() yH(y)G() F()yH(y) G()F()yH(y)xF(x) xG(x) F() G() 结论：图已经画完，所有的枝都是闭枝，因此，带否定号的公式不可满足，原公式是普遍有效式。（3） x(A(x)y(B(y)C(x,y) / y(B(y)x(A(x)C(x,y)解： x(A(x)y(B(y)C(x,y) y(B(y)x(A(x)C(x,y) (B()x(A(x)C(x, ) B()x(A(x)C(x, )A()
4、y(B(y)C(, y) A()y(B(y)C(, y)B()C(, ) B() C(, ) (A()C(, ) A() C(, ) 结论：图已经画完，所有的枝都是闭枝，因此，带否定号的公式不可满足，原公式是普遍有效式。三、分别构造一个相应的解释，证明（15 分）：（1）xF(x)xG(x) x(F(x)G(x) 不是普遍有效的。解：个体域：N；F ：偶数； G：奇数。xF(x)表示“有的自然数是偶数”，真命题；xG(x)表示“有的自然数是奇数”，真命题；因此，该蕴涵式的前件是真命题；x(F(x)G(x)表示“有的自然数既是偶数又是奇数”，假命题。整个蕴涵式前件真后件假，假命题。所以，该蕴涵式
5、不是普遍有效的。（2）(xF(x) xG(x)x(F(x)G(x) 是可满足的。解：个体域：N；F ：偶数； G：奇数。xF(x)表示“所有自然数是偶数 ”，假命题；xG(x)表示“有的自然数是奇数”，真命题；故xG(x)是假命题；前件假后件假，故作为这个蕴涵式前件的那个蕴涵式是真命题；x(F(x)G(x)表示“有的自然数并非既是偶数又是奇数”，真命题；真命题蕴涵真命题，整个蕴涵式是真命题；所以，该蕴涵式是可满足的。（3）xyR(x, y) yxR(x, y)是可满足但不普遍有效的。解：（i）个体域：N；R ： 。xyR(x, y)表示“所有自然数都大于等于有的自然数”，真命题；yxR(x,
6、y)表示“有的自然数（比如 1），所有自然数都大于等于它”，真命题；真命题蕴涵真命题，真命题；所以，该蕴涵式是可满足的。（ii）个体域：N；R ：。xyR(x, y)表示“所有自然数都小于等于有的自然数”，即“没有最大的自然数”，真命题；yxR(x, y)表示“有的自然数，所有自然数都小于等于它”，即“有最大的自然数”，假命题；真命题蕴涵假命题，假命题；所以，该蕴涵式不是普遍有效的。四、证明下列公式或推理是自然推理系统 QN 的定理（35 分）：1xF(x)xG(x)，x( R(x)F(x)，x(R(x)G(x) /xR(x)（证明只能使用 15 个初始规则）证明：（1）xF(x)xG(x)
7、前提（2）x( R(x)F(x) 前提（3）x( R(x)G(x) 前提（4） xF(x) 假设（5） F() (4) （6） R()F() (2) （7） R() 假设（8） F() (6)(7)（9） F() (5) （10） R() (7)(8)(9) （11）xF(x) R() (4)(10) （12）xG(x) R() 同理可证 （13）R() (1)(11)(12) （14）xR(x) (13) 2x(F(x) G(x)y(R(x, y)H(y)，x(S(x)F(x) y(R(x, y) S(y)，x(S(x)G(x) / x(S(x)H(x)证明：（1）x(F(x) G(x)y(R(x, y)H(y) 前提（2）x(S(x) F(x)y(R(x, y) S(y) 前提（3）x(S(x) G(x) 前提（4）(S() F()y(R(, y) S(y) (2) （5） S()F() (4) （6）y(R( , y) S(y) (4) （7）S() (5) （8）F() (5) （9） S()G() (3) （10）G( ) (7)(9) （11）F()G( ) (7)(10) （12）F()G( )y(R(, y)H(y) (1) （13）y(R( , y)H(y) (11)(12) （14）R(, ) H
