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1、1问题描述某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。2.问题分析不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。2.1应力应变先以结构不均匀板为例来讨论。假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿，不均匀，由一函数描述，但仍然符合薄板假设。对于均匀板，显然是一个常数。设挠度为，则板内应变向量可以表示为应力应变关系为弯矩扭矩矩
2、阵这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。积分完毕后，可以得到其中薄板的弯曲系数矩阵是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵。如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。2.2单元分析可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移位移模式形状函数矩阵是一个的行向量其中单元刚度矩阵很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以，即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。对于均匀板，相同形式的单元，刚度矩阵是相同的。均匀与
3、非均匀的差别，完全体现在弹性系数矩阵上。但是非均匀板的一些结果可以间接地运用。矩形单元四节点单元刚度矩阵是一个规律性很强的对称矩阵。矩阵中待求的独立元素只有21个。 其中如果以单元中心点的参数代替单元的参数，那么非均匀的薄板单元刚度矩阵与均匀板差别不大，即各个单元的刚度矩阵都需要利用单元中心的参数来代替。这个结论对材料不均匀板也是实用的。下面运用这种近似来求解非均匀薄板问题。3问题求解求解的模型仍然是边长为2的正方形薄板，材料的弹性模量，泊松比。图1 薄板单元3.1 均匀板将板分为均匀的正方形单元，等，可以得到精度不等的数值解。厚度为0.035的薄板，在载荷作用下可以计算出板的挠度。可以看出挠
4、度是完全对称的，并且最大挠度出现在板的几何中心上。图2 均匀板均布载荷下变形（整体变形和中线变形）3.2 结构非均匀板通过一个均匀板的计算，可以看出对称均匀板受到均布载荷后，挠度也是完全对称的。但是对于非均匀板，受到均布载荷挠度如何分布，最大挠度在什么地方，是最关键的问题。只有找到最大挠度的位置，以及最大挠度是多少才能采取相应的解决办法。下面解决一个结构非均匀薄板。设板在x方向上厚度从0.02线性变化到0.05（平均厚度为0.035，与上一均匀板厚度相同），厚度关于中面对称，其余参数和前面的均匀板相同。结构如图。图3 不均匀板模型同样，将板分为（64个）正方形单元，在均布载荷作用下，板的形变已
5、经完全不一样了。最大挠度不再出现在几何中心处。很显然，挠度最大处向板较薄的一侧推移了。值得注意的是，这种不均匀薄板在薄弱环节挠度往往增大得很快，平均厚度相同的薄板受到相同载荷，不均匀板的挠度往往大得多。图4 不均匀板在均布载荷下变形但是新的问题出现了。实际情况确实是挠度最大处向板较薄的方向推移了，可是目前的网格还是比较粗，所有的位移量都是针对节点计算的，并不能精确反映出现的位置。所以，要想较精确地得到具体位置，网格需要加密。但针对现有的精度，我们可以提出几种解决大挠度的方案。1）在最大挠度处添加支撑（固支或简支）如果在最大挠度处添加支撑，那么该处的挠度就已固定。简支时，转角自由；固支时，转角为
6、0或者给定。假如限制最大挠度处挠度为0.1。下面分别就固支和简支情况给出数值解。图5 薄弱环节采用简支图6 薄弱环节采用固支2）在最大挠度出添加固支肋条在最大挠度出使挠度为0，可以得到下面的情形。可以通过不断改变添加的位置找到最合适的方法。显然，图中不是最好的方法。图7 薄弱处添加肋条3）施加外力例如给薄板最大挠度出施加一集中载荷500000N ，方向与均布载荷相反。可以看到最大挠度（0.12）也有明显减小。图8 薄弱处施加外力4）改变材质（材质分布）不均匀薄板本来就可以是材质的不均匀。当改变材料性质可行时，那么这也是一种好的方法。下面通过改变材料的性质改变薄板的形变。首先应该清楚，在薄板较薄
7、的位置，结构的刚度较小。如果结构不能改变，那么需要适当地调整材料的性质。采用不同的材料，或者对材料进行不同的处理。那么，下面我们让薄板较薄的半边弹性模量为275Gpa，看看会有什么发生。图9 改变材质（分布）通过对比发现，薄板的最大挠度随着较薄区域的刚度的增加，最大挠度明显减小；如果全域都改变材料，使用弹性模量较大的材料，挠度会更小，但没有通过直接增加薄区域弹性模量的办法有效。4总结1. 不均匀板主要有两种情况，结果不均匀和材质不均匀；2. 文中展示了如何求解不均匀薄板的有限元问题。主要是通过有限单元的平均参数代替单元参数。理论上，当单元足够小的时候，是可以逼近精确解的。不论是结构不均匀还是材
8、质不均匀，都是适用；3.解决挠度过大的方案，仍然是通过改变结构、改变外部条件和改变材质（材质分布）等方法来解决。求解的方法就是使用不均匀板的有限元方法；4.这种方法不能给出一个优化的方法，只能是校核；5.求解过程是基于C语言完成的。单元数目不多时,可以直接计算.当单元数目很多，矩阵的维数很大，通过手算是不可能的。所有的工作都必须借助计算机完成。事实上，用有限元解决问题，单元数目都非常多。最初的将整个过程用C语言完成，是耗费一定时间的。当整个程序建立之后，使用分析就很方便了。由于编程序和调程序花费了一定时间，所以分析上显得很不足。但是通过完成作业，很清楚地认识到有限元理论和应用的区别，以及可以熟
9、练地掌握有限元方法的求解过程、编程计算和问题解决。尽管解决的方案简单，但对自己提高很多。（后面附部分程序代码）五、附录 1、单元节点记录ELNE4=1,2,11,10,2,3,12,11,3,4,13,12,4,5,14,13,5,6,15,14,6,7,16,15,7,8,17,16,8,9,18,17,10,11,20,19,11,12,21,20,12,13,22,21,13,14,23,22,14,15,24,23,15,16,25,24,16,17,26,25,17,18,27,26,19,20,29,28,20,21,30,29,21,22,31,30,22,23,32,31,23
10、,24,33,32,24,25,34,33,25,26,35,34,26,27,36,35,28,29,38,37,29,30,39,38,30,31,40,39,31,32,41,40,32,33,42,41,33,34,43,42,34,35,44,43,35,36,45,44,37,38,47,46,38,39,48,47,39,40,49,48,40,41,50,49,41,42,51,50,42,43,52,51,43,44,53,52,44,45,54,53,46,47,56,55,47,48,57,56,48,49,58,57,49,50,59,58,50,51,60,59,51
11、,52,61,60,52,53,62,61,53,54,63,62,55,56,65,64,56,57,66,65,57,58,67,66,58,59,68,67,59,60,69,68,60,61,70,69,61,62,71,70,62,63,72,71,64,65,74,73,65,66,75,74,66,67,76,75,67,68,77,76,68,69,78,77,69,70,79,78,70,71,80,79,71,72,81,80;2、刚度矩阵EK0=E*h*h*h/(360*a*b*(1-um*um);for(i=0;i=11;i=i+3)EKii=21-6*um+30*a*
12、a/b/b+30*b*b/a/a;EKi+1i+1=8*b*b-8*um*b*b+40*a*a;EKi+2i+2=8*a*a-8*um*a*a+40*b*b;/k1k3EK10=3*b+12*um*b+30*a*a/b;EK43=EK10;EK76=-EK43;EK109=EK76;/k4EK20=-(3*a+12*um*a+30*b*b/a);EK53=-EK20;EK86=EK53;EK119=EK20;/k5EK21=-30*um*a*b;EK54=-EK21;EK87=EK21;EK1110=EK54;/k6EK30=-21+6*um-30*b*b/a/a+15*a*a/b/b;EK9
13、6=EK30;/k7EK41=-8*b*b+8*um*b*b+20*a*a;EK107=EK41;/k8EK52=-2*a*a+2*um*a*a+20*b*b;EK118=EK52;/k9EK31=-3*b-12*um*b+15*a*a/b;EK40=EK31;EK97=-EK31;EK106=EK97;/k10EK32=3*a-3*um*a+30*b*b/a;EK98=-EK32;EK50=EK98;EK116=EK32;/k11EK60=21-6*um-15*b*b/a/a-15*a*a/b/b;EK93=EK60;/k12EK71=2*b*b-2*um*b*b+10*a*a;EK104=
14、EK71;/k13EK82=2*a*a-2*um*a*a+10*b*b;EK115=EK82;/k14EK70=-3*b+3*um*b+15*a*a/b;EK103=EK70;EK61=-EK103;EK94=EK61;/k15EK62=-3*a+3*um*a+15*b*b/a;EK95=-EK62;EK80=EK95;EK113=EK62;/k16EK63=-21+6*um+15+b*b/a/a-30*a*a/b/b;EK90=EK63;/k17EK74=-2*b*b+2*um*b*b+20*a*a;EK101=EK74;/k18EK112=-8*a*a+8*um*a*a+20*b*b;EK85=EK112;/k19EK100=3*b-3*um*b+30*a*a/b;EK91=-EK100;EK73=EK10
