《2016高三数学第二轮专题复习系列(5)——平面向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高三数学第二轮专题复习系列(5)——平面向量（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学第二轮专题复习系列(5)平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学
2、知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析
3、几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正
4、确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例1】 在下列各命题中为真命题的是( )若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则=x1y1+x2y2若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则=若=(x1,y1)、=(x2,y2),则=0x1x2+y1y
5、2=0若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0A、 B、 C、 D、解：根据向量数量积的坐标表示；若=(x1,y1), =(x2,y2)，则=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于=0=或=或x1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，x1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0
6、时，可以是x1=y1=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0)，所以命题(4)是个假命题、【例2】 已知=(,1), =(1, )，那么，的夹角=( )A、30 B、60 C、120 D、150解：=(,1)(1，)=2=2，=2cos=【例3】 已知=(2,1), =(1,3),若存在向量使得：=4, =9，试求向量的坐标、解：设=(x,y),则由=4可得：2x+y=4；又由=9可得：x+3y=9于是有： 由(1)+2(2)得7y=14,y=2,将它代入(1)可得：x=3=(3,2)、说明：已知两向量，可以求出它们的数量积，但是反过来，若
7、已知向量及数量积，却不能确定、【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2，2)方向上的投影、解：设向量与的夹角、有cos= =在方向上的投影=cos=()=【例5】 已知ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)AD是边BC上的高，ADBC，又C、B、D三点共线，又=(x2,y1), =(6,3)，=(x3,y2)解方程组，得x=,y=点D的坐标为(，)，的坐标为(，)【例6】 设向量、满足：=1，且+=(1，0)，求，、解：=1，可设=(cos,sin), =(cos,sin)、+=(cos+cos,sin+sin
8、)=(1,0)，由(1)得：cos=1cos(3)由(2)得：sin=sin(4)cos=1cos=sin=,sin=或【例7】 对于向量的集合A=(x,y)x2+y21中的任意两个向量、与两个 非负实数、；求证：向量+的大小不超过+、证明：设=(x1,y1)， =(x2,y2)根据已知条件有：x21+y211,x22+y221又因为+=其中x1x2+y1y2 1所以+=+=+【例8】 已知梯形ABCD中，ABCD，CDA=DAB=90,CD=DA=AB、求证：ACBC证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)
9、=(1,1), =(1,1)=11+11=0BCAC、【例9】 已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x轴的正半轴上求点C，使ACB最大，并求出最大值、解，设C(x,0)(x0)则=(x,a), =(x,b)则=x2+ab、cosACB=令t=x2+ab故cosACB=当=即t=2ab时，cosACB最大值为、当C的坐标为(,0)时，ACB最大值为arccos、【例10】 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PAEF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，=,则A(0，1)，P(，)，E(1，)，F(，0)=(,
10、1), =(1, )(1)2=()2+(1)2=2+12=(1)2+()2=2+12=2,故PA=EF(2) =()(1)+(1)()=0 PAEF、【例11】 已知 求； 当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向？解：= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , = =.k= k(1,0)(2,1)=(k2,1). 设k=(),即(k2,1)= (7,3), . 故k= 时, 它们反向平行.【例12】 已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k.解：=21=1. 与垂直, ()= , 2 k = 5.【例13】 如果ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE
11、、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BECF.解：, 即 BECF .【例14】 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足，两两不共线，有(+)(+)=(+)(+)=(2+)(2+)=(2)(2+)=422=422=0有(+)与(+)垂直、同理证其他情况、从而，满足题意、故存在这样4个平面向量、平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】 已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的
12、夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=. .2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】 已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，则，.=，从而，.3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】 已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.【例5】 如图，用表示解：以O
13、为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证：C1CBD.(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明. (1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、中两两所成夹角为，于是=ab，=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b
14、|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|=|c|时，A1CBD，=1时，A1C平面C1BD.【例7】 如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中， CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos的值；(3)求证：A1BC1M.解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()A1BC1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线
