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1、1,第6章 控制系统计算机辅助设计,2,设计一个自动控制系统一般经过以下三步: 根据任务要求，选定控制对象； 根据性能指标的要求，确定系统的控制规律，并设计出满足这个控制规律的控制器，初步选定构成控制器的元器件； 将选定的控制对象和控制器组成控制系统，如果构成的系统不能满足或不能全部满足设计要求的性能指标，还必须增加合适的元件，按一定的方式连接到原系统中，使重新组合起来的系统全面满足设计要求。,能使系统的控制性能满足控制要求而有目的地增添的元件称为控制系统的校正器或称校正装置.,图6.1 系统综合与校正示意图,3,必须指出，并非所有经过设计的系统都要经过综合与校正这一步骤，对于控制精度和稳定性
2、能都要求较高的系统，往往需要引入校正装置才能使原系统的性能得到充分的改善和补偿。反之，若原系统本身结构就简单而且控制规律与性能指标要求又不高，通过调整其控制器的放大系数就能使系统满足实际要求的性能指标。,在控制工程实践中，综合与校正的方法应根据特定的性能指标来确定。一般情况下，若性能指标以稳态误差 、峰值时间 、最大超调量 、和过渡过程时间 、等时域性能指标给出时，应用根轨迹法进行综合与校正比较方便;如果性能指标是以相角裕度r幅值裕度 、相对谐振峰值 、谐振频率 和系统带宽 等频域性能指标给出时,应用频率特性法进行综合与校正更合适。 对单变量系统来说，校正装置接入系统的主要形式有两种，即串联校
3、正和并联校正。,4,6.1 基于传递函数的控制器设计方法,一般的控制目的是使得输出信号能很好地跟踪输入信号，这样的控制也称为伺服控制。在这个基本的控制结构下，误差信号E(s)和控制信号U(s)一般要求其尽可能小。如图6.2所示系统，由于受控对象和控制器为串联，故称其为串联控制。常用的串联控制有超前滞后校正器和PID类控制器。,6.2 串联校正,E(s),U(s),5,6.1.1 串联超前滞后校正器,1、超前校正器 超前校正器传递函数可写成： G(S)=K(1+TS)/(1+TS) (6.1) 其有一个极点p(-1/T)和一个零点Z(-1/T)，它们在复平面上的分布如图6.3所示. m = z
4、- p0，相位超前作用.,6,如图6.4可以看出，引入这样具有正相位的校正器，将增大前向通道的相位，使其相位“超前”于受控对象的相位，因此称为超前校正器。 超前校正器可使校正后的闭环系统的阶跃响应的速度加快，超调量减小。,图6.4 超前校正器的Bode图,7,2、滞后校正器：可使校正后的闭环系统的阶跃响应的速度变慢，但超调量减小。 滞后器传递函数可写成： G(s)=K(1+TS)/(1+TS) （6.2） 向量zs和ps与实轴正方向的夹角的差值小于零， 即 = zp0 （如图6.5所示）,图6.5,图6.6 滞后校正器的Bode图,8,3、超前滞后校正器,串联超前校正主要是利用超前网络的相角超
5、前特性来提高系统的相角裕量或相对稳定性，而串联滞后校正是利用滞后网络在高频段的幅值衰减特性来提高系统的开环放大系数，从而改善系统的稳态性能。 当原系统在剪切频率上的相频特性负斜率较大又不满足相角裕量时，不宜采用串联超前校正，而应考虑采用串联滞后校正。但并不意味着串联滞后一定能有效的代替串联超前校正，稳定的运行于系统上；事实上，在某些情况下可以同时采用串联滞后和超前校正，即滞后-超前校正，综合两种校正方法进行系统校正。,9,超前滞后校正器的数学模型为,其兼有超前和滞后校正器的优点。 由图6.7，1表示超前部分，1表示滞后部分。,10,从频率响应的角度来看，串联滞后校正主要用来校正开环频率的低频区
6、特性，而超前校正主要用于改变中频区特性的形状和参数。因此，在确定参数时，两者基本上可独立进行。可先根据动态性能指标的要求确定超前校正装置的参数，在此基础上，再根据稳态性能指标的要求确定滞后装置的参数。应注意的是，在确定滞后校正装置时，尽量不影响已由超前装置校正好了的系统的动态指标，在确定超前校正装置时，要考虑到滞后装置加入对系统动态性能的影响，参数选择应留有裕量。,11,6.1.2 控制系统工具箱中的设计界面 MATLAB控制工具箱提供了控制器设计界面函数sisotool(G，Gc)，其中G为受控对象模型，Gc为控制器模型。 例：受控对象模型为 由下面语句启动sisotool G=zpk(-1
7、,0,-0.1,-10,-20,10); Gc1=zpk(10,55,1); %超前校正器 sisotool(G,Gc1),图6.8,如图6.8，单击FS可改变控制结构，单击控制器模块可选择控制器。,12,图6.9,13,图6.11,Analysis菜单可显示各种响应和分析曲线。,Tools/Draw Simulink Diagram菜单项将自动绘制闭环系统的Simulink仿真框图。,14,考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：,6.2 基于状态空间模型的控制器设计方法,用u(t)=v(t)-Fx(t)带入开环系统的状态方程模型，则有,15,如果系统(A, B)完全可控，则选择合适
8、的F矩阵，可以将闭环系统矩阵A-BF的特征值配置在任意地方。换句话说，系统设计问题就是寻找一个控制作用u(t)，使得在其作用下系统运动的行为满足预先所给出的期望性能指标。设计问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型。 非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能指标值达到或好于期望性能指标就算实现了设计目标，如极点配置问题、解耦控制问题、跟踪问题、调节问题。 优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得极小（或极大）值。,16,性能指标常取为一个相对于状态x(t)和控制u(t)的二次型积分性能指标，其形式为：,设计的任务是确定一个控制u*(t)
9、 ，使得相应的性能指标Ju*(t)取得极小值。 从线性系统理论可知，许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的形式。但是由于状态变量为系统的内部变量，通常并不是每一个状态变量都是可以直接量测的。这一矛盾的解决途径是：利用可量测变量构造出不能量测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即状态观测器问题。,17,6.2.1 线性二次型最优调节器,考虑受控系统，其性能指标为：,其中，Q和R分别为对状态变量和输入变量的加权矩阵，tf为控制终止时间，F对控制系统的终值也给出某种约束。线性二次型最优控制问题，简称为LQ（Linear Quadratic）问题。就是寻找一个控制u*(t)，使得系统沿着由指
10、定初态x0出发的相应轨线x*(t) ，其性能指标J取得极小值。,有限时间LQ问题:终端时刻tf是固定的,且为有限值 无限时间LQ问题: tf ,，,18,我们建立Hamilton矩阵,若输入信号没有任何约束，则求解H对u(t)的导数为零，可以得到目标函数的最小值。,则有,即u*(t)为最优解。而(t)可写为 其中， 满足下述Riccati矩阵代数方程：,19,P(t)的终值为P(tf )=F ，于是有最优控制信号为,求解Riccati方程很困难，因此这里只考虑tf 的稳态情况。这时设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的，即系统的状态渐近地趋向于0。此时,设,则状态反馈下闭环系统的状态方程为 (A
11、-BK),B,C,D。,20,控制系统工具箱函数lqr( )的调用格式为： K,P,e=lqr(A,B,Q,R) 其中：K为设计线性定常、连续时间系统的最优反馈增益矩阵，P为Riccati方程的解，e为闭环系统的特征值， (A, B)为给定对象的状态方程模型。,21,离散系统的二次型性能指标为,与其对应的Riccati方程为,其中，S(N)=Q，N为终止时刻，(F,G)为离散状态方程矩阵。S的稳态值记为S，则控制率为,K可以由dlqr ( )函数求解。,注：由最优控制率表达式，可以看出，最优性取决于Q、R矩阵的选择，但如何选择这两个矩阵没有解析的方法，只能定性地选择。,22,例6.2 已知连续
12、系统的状态方程模型参数为,试由下面语句求系统状态反馈矩阵、Riccati方程解，以及闭环特征值。 A=-1.3576 0.3 0 0 0;2.6151 -0.6956 0.4 0 0; 0 0.0478 -0.25 0 0;-1 0 0 0 0;0 0 -1 0 0; B=0.0409 -0.0491;0.0982 -0.0818;zeros(3,2); Q=diag(1000 0 1000 500 500); R=eye(2) K,S,e=lqr(A,B,Q,R),23,K = 13.9037 4.8668 76.7050 -2.6784 -22.1997 -22.8863 -1.4737
13、20.1337 22.1997 -2.6784 S = 1.0e+004 * 0.0752 -0.0172 -0.5591 -0.1329 0.1409 -0.0172 0.0121 0.3110 0.0526 -0.0813 -0.5591 0.3110 8.5775 1.5036 -2.2844 -0.1329 0.0526 1.5036 0.3725 -0.3790 0.1409 -0.0813 -2.2844 -0.3790 0.7143 e = -2.5964 -0.8173 + 0.2130i -0.8173 - 0.2130i -0.2993 -0.0636,24,6.2.2 极
14、点配置,在状态反馈律 作用下的闭环系统为：,状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵K的选取，使闭环系统的极点，即 的特征值 恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。 线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充要条件是：该系统必须是完全能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。,25,1. Bass-Gura算法：设受控系统的开环特征方程和闭环特征方程分别为：,则状态反馈阵,26,控制系统工具箱给出函数bass_pp( )来实现该算法，其调用格式为: K=bass_pp(A,B,p) 其中，(A,B)为状态方程模型，p为包含期望闭环极点位置的列向量 ，返回变量K为状态反馈行
15、向量。,2. Ackermann算法：状态反馈阵为,其中，,控制系统工具箱给出函数acker( )来实现该算法，其调用格式与bass_pp( )完全一致。 注：acker( )函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。,27,place( )函数调用格式为： K=place(A,B,p) K,prec,message=place(A,B,p),3. 鲁棒极点配置算法 控制系统工具箱中place( )函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈阵K，使得多输入系统具有指定的闭环极点p，即 。,其中，prec为闭环系统的实际极点与期望极点p的接近程度，prec中的每个量的值为匹
16、配的位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望极点10%以上，那么message将给出警告信息。函数place( )不适用于含有多重期望极点的配置问题。,28,A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0;1;0;-1;C=1 2 3 4; po=eig(A), p=-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1); K=place(A,B,p), pc=eig(A-B*K) po = 0 0 3.3166 -3.3166 K = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000 pc = -2.0000 -1.0000 - 1.0000i
