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1、空间直线和平面知识串讲空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角：090 （2）直线与平面所成的角：090 （3）二面角：二面角的平面角，0180 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距
2、离转化为两点间距离构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题】 例. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（ ） 分析：如图，取AB中点E，CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E/AM，B1F/NC EB1F为AM与CN所成的角 又棱长为1 选D 例3. 其中正确的两个命题是（ ） A. 与B. 与C. 与D. 与 分析： 错 错 正确，选D 例4. 如图，在四棱锥PABCD中，底
3、面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1）证明PA/面EDB。（2）PB平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO 底面ABCD是正方形 点O是AC中点 又E为PC中点 EO/PA PA/面EDB （2）PD底面ABCD BCPD BC面PDCBCDE 又E为等直角三角形中点 DE面PBCDEPB PB面DEF 例5. 正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，求证：A1CBC1。 证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C 注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。 例6. 下列正方体
4、中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l面MNP。 分析： 如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直l面MNP例7. ACB=90，侧棱与底面成60的角。 分析： 证明： 又ACB=90，即ACBC D为AC中点 例8. 已知RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将ABC折成直二面角，使A到A的位置（如图）。求： （1）C到AD的距离； （2）D到平面ABC的距离； （3）AD与平面ABC所成角的正弦值。 解：（1）二面角ADEB是直二面角 又AEED，CEED
5、 ED面AEC及EC面AED 作EFAD于F，连结CF，则CFAD CF即为C点到直线AD的距离 在RtAED中，EFAD=AEED DE/面ABC E到面ABC的距离即为D点到平面ABC的距离 过E作EMAC于M ED面AEC 又BC/ED BC面AEC BCEM EM面ABC 或者用体积法： 例9. （1）证明： （2）解： 又取BC中点N，连结NF 【模拟试题】一. 选择题 1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线B. 相交C. 平行D. 平行或相交 2. 已知直线a，b，平面，有下列四个命题 ； ； 其中正确的命题有（ ） A. B.
6、 C. D. 以上都不对 3. 边长为a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，这时二面角BADC的大小为（ ） A. 30B. 45C. 60D. 90 4. 设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P有一条直线和a，b都平行 B. 过P有一条直线和a，b都相交 C. 过P有一条直线和a，b都垂直 D. 过P有一个平面与a，b都平行 5. 若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（ ） A. 90B. 60C. 45D. 30二. 填空题 6. 设正方体的棱长为1，
7、则 （1）A点到的距离为_ （2）A点到的距离为_ （3）A点到面的距离为_ （4）A点到面的距离为_ （5）的距离为_ 7. 如图，正方形ABCD中，E、F分别是中点，现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则=_。8. 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，则点A到BC的距离为_。 9. 如图PAO面，AB是O的直径，C是O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：AFPB，EFPB，AFBC，AE平面PBC，其中正确命题的序号是_。 10. 平面，其交线为l，AB与所成角为30，则AB与所成角的取值范围是_。三. 解答题 11.
8、 四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，SBA=45，SBC=60，M为AB的中点。求： （1）BC与面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。 13. 在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将ABE折到的位置，使。 （1）求证：平面平面BCDE。 （2）求和面BCD所成角的大小。 14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，。 （I）求； （II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。 【试题答案】一. 1. C2. C3. C 4. C（当P点和直线a确定的平面与b平行时，则过P点的直线与a不相交
9、，B错，当P点在a或b上时，D不成立） 5. A二. 6. 7. 8. 9. 10. （0，60 （如图ABD30，90BAD30 BAD60 0BAD60）三. 11. 解：（1）SCSA，SCSB SC面SAB SB是CB在面SAB上的射影 SBC是直线BC与面SAB所成的角，且为60 （2）连SM，CM，则SMAB（SAB为等腰Rt） AB面CSM, 设SHCM于H，则ABSH SH面ABC SCH为SC与平面ABC所成的角 设SB=SA=a, 则 注：“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面ABC的斜线。 12. 证：（1）PA面ABC，PC在面ABC上射影为AC 又AB为O直
10、径 BCAC BCPC BC面PAC 又BC面PBC面PAC面PBC （2）由（1）知BC面PAC 又AE面PAC BCAE，又PCAE AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 或者：由（1）知面PAC面PBC，PC为交线 又AEPC AE面PBC 又AE面AEB 面AEB面PBC 注：线线垂直线面垂直面面垂直 13. （1）取BE中点M，CD中点N， 连分别为中点 （2）连结MC， 就是与面BCDE所成的角, 设AB=a，则 14. 分析：易证AD面SAB （I） （II）延长CD、BA交于点E 连结SE，SE即为面CSD与面BSA的交线 又DA面SAB 过A作AFSE于F 连FD，则DFSE 又易知SAE为等腰直角三角形，F为SE中点
