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1、 东南数理化 高中数学教研组命题角度 7 函数的应用 1某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=506x-015x2，和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( ) A45606 B456 C468 D46806考场错解 D 设甲地销售x轴，则乙地销售15-x辆总利润L=L1+L2=5.06x-015x2+2(15-x)=-015x2+306x+30=-O15(x-)2+46.806 当x=时，获得最大利润46806万元故选D. 专家把脉 上面解答中x=不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛物线取与x=接近
2、的整数才符合题意 对症下药 B 设甲地销售x辆则乙地销售(15-x)辆，则总利润L=L1+L2=506x-015x2+2(15-x)=-015x2+306x+30=-015(x-102)2+46806 根据二次函数图像和xN*，当x=10时，获得最大利润L=-015102+30610+30=456万元选B 2甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格) (1)将乙方的年利润W(元)表
3、示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0002t2.在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少?考场错解 (1)因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际利润为：W=2000-St=(2000-S)=S(2000-)S=10003S当且仅当=2000-.即t=106(吨)时W取得最大值(2)设甲方净收入为v元，则v=St-0.002t2,将t=106代入上式v=106S-10120.002=106(S-2103).v在(0，+)上是增函数即S越大，v越大，故甲方要在索赔中
4、获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是任意大的数字 专家把脉 上面解答主要在第(1)问求w的最值时，变形出了错误，即由w=2000-St=S(2000-)正确的变形为w=2000-St=S(-)这一步出错导致后面结果都是错误的 对症下药 (1)解法1 因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际年利润为：W=2000-St W=2000-St=S(-)S=()2当且仅当=-即t=()2时，W取得最大值 乙方取得最大年利润的年产量t=()2吨 解法2 因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际年利润为W=2000-St W=2000-St=-S(-)2+ 当t=()2时，w取得最大值 乙方取得最大年利润的
5、年产量t=()2 (吨)解法3 因为赔付价格为S元吨，所以乙方的实际年利润为：w=2000-St由w=-S=,令w=0得t=t0=()2当t0；当tt0时，w0所以t=t0时w取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量t0=()2吨设甲方净收入为v元，则v=St-0002t2 将t=()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式v=-.又v=-令v=0得S=20，当S0；当S20时，v0，S=20时，v取得最大值因此甲方向乙方要求赔付价格S=20(元吨)时，获得最大净收入 3某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，
6、8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkmh，匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差 (1)分别写出列车在B、C两站的运行误差； (2)若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围 考场错解 (1)列车在B、C两站的运行误差(单位：分钟)分别是|-7|和|-11|(2)由于列车在B、C两站的误差之和不超过2分钟，所以|-7|+|-11|2(*)当0v时，(*)式变形为-y+-112 解得v当v时，(*)式变形为7-+-112，解得v.
7、当v时，(*)式变形为7-+11-2 解得v综上所述，v的取值范围,专家把脉 上述解答错在单位不统一，应将速度v(kmh)化为v(60km分)由于一开始出现错误，导致后面结果全是错误的 对症下药 (1)列车在B、C两站的运行误差(单位：分钟)分别是-7和-11(2)由于列车在B、C两站的误差之和不超过2分钟，|-7|+|-11|2(*)当0v时，(*)式变形为-7+-112，解得39v.当v，(*)式变形为7-+-112，解得时，(*)式变形为7-+11-2，解得v，综上所述，v的取值范围是39, 4某人在一山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC，塔高
8、BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为，tan=试问，此人距山崖的水平距离多远时，观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)?考场错解 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)直线l的方程为y=(x-200)tan，即y=设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x200)，由经过两点的直线的斜率公式kPC=kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得：tan BPC=设u=ux2-(288u-64)x+160640u=0 u0xR.=(288u-64)2-41606
9、40u20. 解得 u2 当u=2时，x=320即此人距山崖320米时，观看铁塔的视角BPC最大 专家把脉 上述解答过程中利用xR由判别式法求u的最大值是错误的，因为x200，即由判别式求得u的最大值，还必须检验方程的根在(200，+)内对症下药 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200，0)，B(0，220)，C(0，300)直线l的方程为y=(x-200)tan，即y=.设此人距山崖的水平距离为x，则P(x，)(x200)由经过两点的直线的斜率公式 kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得 tanBPC=要使tanBPC达到最大，只须x+达到最小由均值不等式x+2,当且仅当x
10、=时上式取得等号故当x=320时tanBPC最大由此实际问题知，0BPC5时，12-025x05x48 综合得01x48即生产量在10件到4800件不亏本专家会诊与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是建立相关函数的解析式，然后应用函数知识加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去，看是否符合实际问题.四、典型习题导练1、则的值为 .【解析】2、已知是定义在上的单调递增函数，且满足，则实数的取值范围是A. B. C. D. 4、若关于的不等式的解集为非空集，则实数的取值范围是_【解析】当
11、时即所以 解得；当时即所以 解得故实数的取值范围是5、已知，规定：当时, ；当时, ，则A. 有最小值,最大值1 B. 有最大值1,无最小值C. 有最小值,无最大值 D. 有最大值,无最小值【解析】画出与的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧, 故；在A、B之间, ,故.综上可知, 的图象是图中的实线部分,因此有最小值-1,无最大值6、下列函数中，满足“对任意的，当时，总有”的是（ ） A B C D【解析】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调，即反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数单调性的应用对任意x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），函数在上是
12、减函数；A、由于，由二次函数的性质知，在上是减函数，在上是增函数，故A不对； B、根据对数的真数大于零得函数的定义域为，故B不对； C、由反比例函数的性质知，此函数函数在上是减函数，故C正确； D、由于e1，则由指数函数的单调性知，在上是增函数，故D不对；故选C7、已知的展开式中的常数项为，是以为周期的 偶函数，且当时，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 【解析】按二项式公式展开得，函数有4个零点，等价于函数与，再利用数形结合可得当x0,2)时，log2(x1)，则的值为（ ）A2 B1 C2 D1【解析】由知是周期为2的函数，log22log211.10、如果直线和函数的图像恒过
13、同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_.【解析】根据指数函数的性质，可知函数恒过定点.将点代入，可得. 由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以. 由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.:11、设集合函数 且， 则的取值范围是 . 【解析】本题考查分段函数及不等式综合应用。则，由得即，所以，解得，又因为，所以故答案为：12、已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是（ ）A. B. C. D. 【解析】本题可采用数形结合的方法解答.如图，在同一坐标系内分别作出的图象，其中表示直线在轴的截距，结合图形可知当时，直线与只有一个交点. 即.【答案】D13、若函数，则函数在，上的不同零点个数为A2 B3 C4 D5【解析】注意分段 ，
