《必修五第一章1.2应用举例 第2课时 角度问题汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修五第一章1.2应用举例 第2课时 角度问题汇总（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2应用举例第2课时角度问题(教师用书独具)三维目标1，知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2过程与方法通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三3情感、态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神重点难点重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题课标解读1.能灵活运用正、余弦定理解决角度问题(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点)3.能根据题意画出几
2、何图形(易错点)方位角与方向角【问题导思】课上，老师在黑板上画下了如右的一个角？(1)该角可以说成北偏东110吗？【提示】可以(2)该角的方向是东偏南多少度？【提示】东偏南20度(3)该角的方向要以南为起始方向，怎么表示？【提示】南偏东70度(4)方位角110是指这个角吗？【提示】是图12161方位角从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角如点B的方位角为(如图1216所示)方位角的取值范围：0360.2方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.俯角、仰角与坡角图1217(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的
3、水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角如图1217，仰角为1，俯角为2.(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比.确定航向的角度问题如图1218，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1，距离精确到0.01 n mile)图1218【思路探究】(1)题干中明确给出了哪些长度？再求出什么角即可解决这个
4、问题？(2)考虑ABC怎样来求？(3)沿什么方向航行是指求出哪个角？是CAB吗？【自主解答】在ABC中，ABC1807532137，根据余弦定理，AC113.15.由正弦定理，得，sin CAB0.3255，所以CAB19.0，75CAB56.0.答：此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行113.15 n mile.1本题中由于A、C均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出CAB的大小，可用方向角表示出来2在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角但角在(0，上时，用正、余弦定理
5、皆可如图1219，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10 n mile的C处的乙船，试问：乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?图1219【解】连接BC.在ABC中，AB20，AC10，BAC120.由余弦定理知：BC2AB2AC22ABACcos 12020210222010700，BC10.由正弦定理得，sinACBsinBACsin 120.又ACB为锐角，ACB41.作CMBA交BA的延长线于点M，则BCM30ACB71.乙船应朝北偏东约71的方向沿直线前往
6、B处救援.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间【思路探究】(1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】如图所示，设所需时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得：(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得：
7、2t2t10，解得t1或t(舍去)，所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得：，sinCAB.CAB30.所以舰艇航行的方位角为75.1本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B，画出可以求解的三角形2解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解体现了数形结合与方程的数学思想方法在甲船A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船
8、速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】设甲船沿直线与乙船同时到C点，则A、B、C构成ABC，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为v，到达C处用时为t.由题意BCvt，ACvt，ABC120.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos 120，3v2t2a2v2t2avt.2v2t2avta20, 解得vt(舍去)或vta.BCa，在ABC中ABBCa，BACACB30.603030.即甲船应取北偏东30的方向去追乙船，此时乙船行驶了a海里.图1220应用正余弦定理时出现增根致误某观测站C在A城的南偏西20方向上，由A城出发的一条公
9、路走向是南偏东40.在C处测得公路上距C为31 km的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则这人还要走多远才可到达A城？【错解】如题图所示，CAD60，在BCD中，由余弦定理，得：cos B.所以sin B.在ABC中，AC24(km)在ACD中，由余弦定理，得：CD2AC2AD22ACADcos CAD，即212242AD224AD.所以AD15或AD9，即这人还要走15 km或9 km才能到达A城【错因分析】余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误【防范措施】求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符
10、合实际问题【正解】设ACD，CDB，在CBD中，由余弦定理，得：cos .所以sin .所以sin sin(60)sin cos 60sin 60cos .在ACD中，由正弦定理，得，所以AD15(km)即这人还要走15 km才可以到达A城1测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决2在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决1已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距
11、离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东10 D南偏西10【解析】如图，由题意，知ACBC，ACB80，CBA50，CBA60.10，即A在B的北偏西10.【答案】B2已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km【解析】如图，可知ACB120，ACBCa.在ABC中，过点C作CDAB，则AB2AD2asin 60a.【答案】B图12213如图1221，一艘船上午800
12、在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午830到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距4n mile，则此船的航行速度是_n mile/h.【解析】如题图ABS中，S45.由正弦定理：，AB8，船的航行速度为816 n mile/h.【答案】164一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60方向上，另一灯塔在南偏西75方向上，求该船的速度【解】如图，B，C为两灯塔，行驶半小时后船从A到达D，由ADC75，ADB60，BCDBDC15.BDBC10，AD10cos 605.
13、设船速为x，则x5，即x10(海里/小时)一、选择题1有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此栏水坝斜坡的坡度和坡角分别是()A.，60B.，60C.，30 D.，30【解析】如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，则AE2 m，tan DAE，DAE60.【答案】B2有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝_方向行驶()A与水速成45 B与水速成135C垂直于对岸 D不能确定【解析】如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且ACAB.在RtABC中，cos ABC，ABC45，DAB9045135.【答案】B3我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A28海里/小时 B14海里/小时C14海里/小时 D20海里/小时【解析】如图，设我舰在C处追上敌舰，速
