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1、在习题课教学中培养学生发散思维能力摘要：发散思维（求异思维）是一种创造性思维，是培养学生善于开拓、变异并提出新问题，去从多种途径寻求问题解答的一种思维方式。在数学习题的教学中，笔者经常采用：“一题多解”、“一题多探”、“一题多变”、“一题多用”四种模式培养学生的发散思维能力和创新精神。发散思维（求异思维）是一种创造性思维，其本质特征是思维的多向性，表现在对已知信息进行多方向、多角度、多层次去分析思考、析取和重组信息，使思维不恪守常规、不拘于常法、不局限于某一固定的模式，而是善于开拓、变异并提出新问题，去从多种途径寻求问题解答的一种思维方式。在数学习题的教学中，我经常采用：“一题多解”、“一题多
2、探”、“一题多变”、“一题多用”四种模式培养学生的发散思维能力和创新精神。1 在“一题多解”中培养发散思维的灵活性对于一道数学题，往往由于审视的方向不同，而得到不同的解题方法。在习题课教学中，教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发、引导学生在所学的知识范围内，尽可能地提出不同的构想，追求更好、更简、更巧、更美的解法，这不仅有利于对基础知识的纵横联系和沟通，而且也有利于培养学生的发散能力和创新精神。例1 已知,a,b为相异的实数，求证：这是一道不等式的证明题，可以从解题方法的角度进行发散，不难得出以下几种解题思路。思路1按证明绝对值不等式的常规方法，经过平方去掉绝对值符号，作差比较，再利用配
3、方法证明。思路2作商比较，利用共轭根式将分子有理化，再用放缩原理证明。思路3注意函数的结构特征，用三角代换，令x=tan，转化为三角不等式的证明。思路4观察函数f(x)的特点，联想到复数的模，可构造复数z=1+xi,利用复数的三角不等式进行证明。思路5考察表达式=可视作p(x,1)到O(0,0)的距离，当ab时，由点p (a,1)、p (b,1)和原点确定的Opp中任一边大于其余两边之差即可得证。思路6考虑方程y=表示双曲线yx=1的上支，是双曲线上两点（a,f(a)）与（b,f(b)）连续斜率的绝对值，于是，问题可转化为双曲线上支任一弦所在直线斜率的估计问题，而双曲线yx=1的渐近线斜率为，
4、问题即可得证。“一题多解”模式，在一定程度上，可以很好的吸引学生从多角度观察、思考、联想、概括并获得多种解题途径，从而不断掀起学生的思维浪花，使他们既开阔了视野，又增添了兴趣，也感受到数学的美妙与情趣，更培养了发散思维的灵活性。2 在“一题多解”中培养发散思维的深刻性“一题多解”的教学模式有如下两种形式的教学设计：第一种形式：对同一题设条件，引导学生观察和思考，由此导出的各种结果进行探索性分析和论证，从而构造出在同一题设条件下的多个命题。例2 已知AB是O的直径，PAO所在平面，C是圆周上的任意一点，求证：PAC所在平面PBC所在平面。这是高中课本的一道习题，证明完毕后可引导学生观察题设条件，
5、让学生思考，还可以得到哪些结果？不难发现如下结论：(1)PAB、PAC、PCB、ACB都是直角三角形；(2)平面PBC平面PAC，平面PAC平面ABC，平面PAB平面ABC；(3)CAB是平面PAC与平面PAB的平面角，PCA是平面PBC与平面ABC的平面角；(4)AC是异面直线PA、BC的公垂线间的距离；(5)求点A到平面PBC的距离；(6)cosPCA=S/S；(7)VPA SBC S.第二种形式：就是对一个确定的结论或某个数学概念，引导学生探索能使该结论或该概念成立的充分条件或必要条件或充要条件。例3 四棱锥VABCD满足下列条件之一：(1)各侧面都是正三角形；(2)各侧面都是全等的等腰
6、三角形；(3)各侧面的斜高相等；(4)各侧面与底面所成角相等；(5)各侧棱与底面所成角相等；(6)各侧面都是等腰三角形且底面是正方形；(7)相邻侧面所成的二面角都相等；(8)相邻侧棱所成的角都相等；问哪些条件是四棱锥成为正四棱锥的充要条件？哪些条件是四棱锥成为正四棱锥的充分非必要条件？哪些条件是四棱锥成为正四棱锥的必要非充分条件？“一题多解”的两种设计，实际上就是结论开放和条件开放两种类型的数学习题，可以看出这是一种思维能力训练力度较大的教学设计，其特点是让学生直接参与到数学习题形成的过程之中，这样，真正收到了由表及里、举一反三、触类旁通的功效，通过一题多问、一题多思，对培养学生的创造性思维能
7、力有积极地作用，同时，还能激发学生的探索精神。3 在“一题多变”中培养发散思维的广阔性“一题多变”模式是将数学问题的条件、结论同时发散，就是对一个问题由特殊到一般或由特殊到特殊地推广，一般是把条件或结论进行相似变换，即在条件元素的数量上或维数上进行推广，例如：在几何方面，常表现为线段或边数（角度）的增加或从平面到空间进行推广；在代数方面常表现为变量个数的递增；在三角方面常表现为角度或含角的三角函数量的扩充等，总之，对不同侧面的数量变化的研究，可推出不同方面的命题，有时也是一种类比性质的推广，往往会得到一些形式相似地结论。例4 在ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBta
8、nC,不难推广出下列命题：命题1若实数A、B、C满足A+B+Ck（kz）,则tanA+ tanB+ tanCtanAtanBtanC；命题2命题1逆命题命题3 若A+B+Ck/2（kz），则cotA+ cotB+ cotC= cotAcotBcotC命题4在锐角ABC中，求证：tanAtanBtanC3。命题5在锐角ABC中，求证：tanAtanBtanC3+3n/2（nN）,命题6若x+y+z=/4,x、y、zR则（1+tanx）/(1- tanx)+（1+tany）/(1- tany)+（1+tanz）/(1- tanz)=（1+tanx）(1+ tany)（1+tanz）/(1- tan
9、x) (1- tany) (1- tanz)命题7 若tanA+ tanB+ tanCtanAtanBtanC则tan2A+ tan2B+ tan2Ctan2Atan2Btan2C由此可以得出，把问题推广引向深处，可以帮助学生加深对有关事物亲缘关系的认识，让学生在新的情景中解答问题，使学生学一个题，会解一类题，达到一把钥匙开多把锁的效果，这样，就能举一反三，这对培养学生发散思维的广阔性和创新精神是大有裨益的。例5 设O是三棱锥V-ABC的顶点V在底面上的射影，则O是ABC的垂心的充要条件是三棱锥的三条侧棱两两垂直，对此命题从不同方向发散可得如下一系列命题。(在以下的命题中，前提都是O是V-AB
10、C的顶点V在底面上的射影)命题1 O是ABC的垂心的充要条件是三棱锥的相对棱垂直；命题2 O是ABC的垂心的充要条件是三棱锥的三个侧面与其对棱两两垂直；命题3 O是ABC的内心的充要条件是三棱锥三条斜高相等；命题4O是ABC的内心的充要条件是三棱锥的顶点到底面各边距离相等；命题5O是ABC的内心的充要条件是三棱锥的三个侧面与底面所成角相等；命题6O是ABC的内心的充要条件是三棱锥的三条侧棱与其共点的两棱所成角相等；命题7O是ABC的外心的充要条件是三棱锥三条侧棱相等；命题8O是ABC的外心的充要条件是三棱锥的三条侧棱与底面所成角相等；从上述“一题多变”模式的教学设计来看，实际上就是“变式”训练
11、，这样由一个习题发散出另一类习题，形成一浪高过一浪的气势，使学生产生浓厚的兴趣，使他们在挑战中寻找乐趣，同时，可充分调动学生的探索、创新精神，授人以鱼，享受一时，授人以渔，终身受益，在平时教学中，教师要积极引导鼓励学生主动参与，只有长期坚持这种训练，才能提高学生认识数学习题的层次、拓展认识数学问题的视野，从而培养了学生发散思维的广阔性。4 在“一题多用”中培养发散思维的独特性“一题多用”的教学模式。就是利用题目的结论或公式，借题发挥，解决多个数学问题，这就要求解题者，要有一眼看透问题本质的本领例如，在教授三倍角公式时，对导出三个倍角的正、余弦公式，正切公式：Sin33sin-4sincos3=
12、4cos-3costan3=(3tan-tan)/(1-3tan)很多学生说：“这三个公式易混，难记忆”，实际上学生对结论不满意，这表现学生对知识有新的追求，愿意进行新的探索，这就是一种创新的心理在萌动，于是抓住这一有利时机，我要求学生进一步探索、研讨，提问这三个公式是否能化的整齐些？是否有更和谐、更对称、更优美的形式呢？经过师生共同努力，最后我们得到：sin3=4sin(60-)sinsin(60+)cos3=4cos(60-)coscos(60+)tan3=4tan(60-)tantan(60+)当这三个整齐、记忆方便的公式导出时，学生报以热烈的掌声，这掌声是对创新追求的赏赐，也是对自己创
13、造性劳动的赞美，至此，教学活动并没有结束，我又向学生提出：能否运用这些公式解决下列三角函数式的求值问题：(1)sin20sin40sin80；(2)cos20cos40cos80；(3) tan20tan40tan80；(4) tan10tan50tan70(5) sin10sin30sin50sin70；(6) tan6tan42tan66tan78；又如，已知a,b,mR，且ab,求证：(a+m)/(b+m)a/b。这是一道各种版本高中数学课本上都有的例题，在教授当中，我抓住这一典型的例题，充分暴露问题的提出过程、知识的形成过程、规律的发现过程、思路的探索过程和情感的变化过程，不但利用了九
14、种方法进行证明，还充分暴露此结论（不等式）的应用过程，比如：(1)建模：大家知道，建筑学上规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面积，采光度越大说明采光条件越好，现在问，增加同样的窗户面积与地面面积后，采光条件是变好了还是变坏了？若窗户面积为a，地面面积为b，则ab，设增加的面积为m，问题就转化为比较(a+m)/(b+m)与a/b的大小问题。(2)证明两道名题：题1：求证：(A+a+B+b)/(A+a+B+b+c+r)+(B+b+C+c)/(B+b+C+c+a+r)(C+c+A+a)/(C+c+A+a+b+r).其中所有字母都是正数。这是波兰数学家斯坦因豪斯所
15、编100个数学问题中的第12道题，原题解答很繁，这里只取m=B+b，就不难证明。题2：1998年高考“压轴题”所证明的不等式：(1+1)(1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)1+1/(2n-1)2n+1(nN，n2)先将不等式，(a+m)/(b+m)a/b(b+m)/(a+m)b/a设x=(1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)1+1/(2n-1)=4/36/58/72n/(2n-1).y=5/47/69/8(2n+1)/2n,由(b+m)/(a+m)b/a(ab),得4/35/4,6/57/6,8/79/8, 2n/(2n-1)(2n+1)/2n 所以xy,所以xxy=4/36/58/72n/(2n-1)5/47/69/8(2n+1)/2n=(2n+1)/3(2n+1)/4所以x(2n+1)/2,即(1+1)(1+1/3)(1+1/5)1+1/(2n-1)2n+1当这两道著名题目解决了之
