三角形的内角和1、零曲率空间—欧几里得空间，在欧式几何中内角和的确=180°2、负曲率空间—罗氏几何空间，但在罗氏几何中小于180°3、正曲率空间—黎曼几何空间，在黎曼几何中大于180°罗巴切夫斯基几何，也称双曲几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何或罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的一种几何公理系统双曲几何的公理系统和欧氏几何的公理系统不同之处在于欧几里得几何的“第五公设”（又称平行公理，等价于“过直线之外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”）被代替为“双曲平行公理”（等价于“过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行”）在这种公理系统中，经过演绎推理，可以证明一系列和欧氏几何内容不同的新的几何命题，比如三角形的内角和小于180度欧氏几何中三角形的内角和是180度这个命题依赖于欧氏几何的平行公理而在双曲几何中，任何三角形的内角和一定是严格小于180度；内角和与180度的差称为这个三角形的“缺陷”（defect）这个数值与三角形的面积成正比例而因为缺陷最多是180度，所以在双曲几何中，三角形的面积不可能无限大这又是与欧氏几何的直觉完全相反的现象黎曼几何(riemannian geometry)是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。
德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。
