《【2017年整理】平面三角形与空间四面体之间的类比》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】平面三角形与空间四面体之间的类比（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面三角形与空间四面体之间的类比“类比是伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”（波利亚）。新教材中引入类比这一内容，从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比，但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授，让学生使用。如今总算可以放开手脚，大胆应用了。首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。二、三角形的任意两边之和大于第
2、三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。 三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为 c,内切圆半径为 r,则三角形的面积为 。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的
3、表面积为 S,内切球半径为 R，则四面体的体积为 。五、正三角形棱长为 a 时，周长为 3a,面积为 ，高为 ，外接圆半径为 ，内切圆半径为 。外接圆半径是内切圆半径的 2 倍。正四面体棱长为 a 时，表面积为 ，高为 ，外接球半径为 ，内切接球半径为 。外接球半径是内切球半径的 3 倍。六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。（重心定理）如图 1 所示：G 为 的重心。且任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的 3 倍。（重心定理的推广）如图 2 所示： E， F
4、分别为 的重心，AE 与 BF 相交于点 G，则 G 为四面体 A-BCD 的重心。七、三角形中三个顶点的坐标分别为 ，则它的重心坐标为 。四面体中四个顶点的坐标分别为 ， ，则它的重心坐标为 。八、三角形中有余弦定理： 。在四面体 A-BCD 中，顶点 A,B,C,D 所对底面面积分别为 ；以四面体的各棱为棱的二面角大小分别为 。则有。余弦定理证明如下：证明：在 中利用射影定理有由上面三式得：向量证明中， ， ， ：空间中的余弦定理类比证明如下：证明：由空间的射影定理知H 为点 A 在平面 BCD 中的射影，则同理有：于是有= +所以： 。点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行
5、了类比，而且对证明过程也进行了类比。充分体现了类比的“引路人”作用。九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。于是可利用余弦定理证明。在有三个面两两互相垂直的四面体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。这是推广的勾股定理，它也正好是前面推广的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推广的余弦定理证明。十、三角形中有正弦定理：证明：在 中，有于是有 即： 。 同理可证： 。而在四面体 ABCD 中，设棱 AB 与面 ACD，面 BCD 所成角分别为 ，则 。证明：如图 4：作 AH 垂直平面 BCD，H 为垂足。则 就是 AB 与平面 BCD 所成角 。所以 AH=AB 。所以 同理：所以 即 。十一、已知点 O 是 内任意一点，连接 AO,BO,CO 并延长交对边于 A，B，C，则 。证明：如图 5 所示， 因为 与 同底，所以 同理： ；所以 而在空间四面体 ABCD 中也可有类似命题：已知点 O 是四面体 ABCD 内任意一点，连接 AO,BO,CO,DO 并延长交对面于 A，B， C，D, 则 。证明：如图 6 所示， 因为三棱锥 O-BCD 与三棱锥 A-BCD 同底; 所以 同理： ；所以
