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1、简单曲线的极坐标方程,一 复习引入：,1.建立极坐标系的四要素是哪些？ 2.平面内点的极坐标如何表示？,1.方程的曲线和曲线的方程： 在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立如下的关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解。 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程。,2概念的意义：借助直角坐标系，把曲线和方程联系起来，把曲线用一个二元方程表示，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，即几何问题代数化，这就是坐标法的思想。,3求曲线的方程的步骤：曲线的方程是曲线上所有点的坐标都满足的一个关系式。 可按以下步骤：建系 设点，设M（
2、x,y)为要求方程的曲线上任意一点列等式，根据条件或几何性质列关于M的等式。 将等式坐标化，化简 此方程即得曲线的方程。,探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,二 新课讲解：,M,A,(,),思路分析,1、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上明确标出来、 即明确长度与角度是哪一边，哪一个角 2、找边与角能共存的三角形，最好是直角三角形 3、利用三角形的边角关系的公式与定理列等式 4、列式时要充分利用已知条件：圆心与半径,曲线的极坐标方程,一 定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系 （）
3、曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0 ； （）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线上。 则曲线的方程是f(,)=0 。,二 求曲线的极坐标方程的步骤： 与直角坐标系里的情况一样 建系 （适当的极坐标系） 设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） 列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） 将等式坐标化 化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）,例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？,练习1,求下列圆的极坐标方程 （）中心在极点，半径为； （）中心在（，），半径为； （）中心在（，2），半径为； （）中心
4、在（0，），半径为。,2,2acos ,2asin ,2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2,练习2,以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是,三 .圆的极坐标方程,（）圆心在极点，半径为r r,（2）中心在（0，），半径为。,2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2,思考：在平面直角坐标系中 过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ; 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为,x=3,y=3,四 直线的极坐标方程：,例1： 求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。,（2）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。,（3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。,和
5、,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以 取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可 以表示为,或,例2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）,解：如图，建立极坐标系，设点,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,为直线L上除点A外的任意一点，,连接OM,交流做题心得归纳解题步骤：,求直线的极坐标方程步骤,1、据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方程， 并化简；,5、检
6、验并确认所得的方程即为所求。,练习1求过点A (a,/2)(a0)，且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，建立极坐标系， 设点 为直线L上除点 A外的任意一点，连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。, sin a,IOMI sinAMO=IOAI,课堂练习2 设点A的极坐标为 ，直线 过点,解：如图，建立极坐标系，设点,为直线 上异于A点的任意一点，连接OM，,在 中，由正弦定理 得,即,显然A点也满足上方程,A且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,化简得,例3：设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,的任意一点，连接OM，则,为直线上除点P外,由点P的极坐标知,设直线L与极轴交于点A。则在 中,由正弦定理得,显然点P的坐标也是上式的解。,即,练习3 求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线 的方程。,直线的几种极坐标方程,1、过极点,2、过某个定点垂直于极轴,4、过某个定点 ，且与极轴成的角度a,3、过某个定点平行于极轴, sin a,小结： （）曲线的极坐标方程概念 （）求曲线的极坐标方程的步骤 （3）会求圆的极坐标方程 （3）会求直线的极坐标方程,
