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1、判断正误练习判断下面说法是否正确，如果并说明原因。（1） 是纯虚数；R)ai(（2）在复平面内，原点也在虚轴上；分析：先判断正误，若错误考虑如何纠错？或直接改正或举反例试之。（1）错误。因为当 时，不是纯虚数。0a（2）错误。因为原点不在虚轴上。探究性问题已知关于 的方程 有实根，求实数 的取值。x0312imxi m分析：注意不能用判别式来解。如： 方程有实根 0412ii错误的原因是虚数不能比较大小，因此涉及到大小问题的概念和理论如与不等式有关的判别解：设方程的实根为 x0，则3120imix整理得： 12400i由复数相等的条件知： 1230x复数的分类例题例 实数 分别取什么值时，复数
2、 是（1）实数（2）a iaaZ)5(3622虚数（3）纯虚数。解：实部 ，虚部3)(2362aa )(32（1）当 时，Z 是实数；（2）当 ，且 时，Z 是虚数；（3）当55a或 时是纯虚数a复数的相等例题例 设 （ ） ， ，当 取何值时，immz )34()32(21 Riz352m（1） ；（2） .01分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值解：（1）由可得：解之得 ，3452m4即：当 时 .21z（2）当 可得：0z或 ，即 时303423m01z复数与复平面
3、上的点的对应关系的例题例 设复数 和复平面的点 Z（ ）对应， 、 必须满足什么条件，才能biazba,b使点 Z 位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？分析：本题主要考查复数 与复平面的点 Z（ ）建立一一对应的关系i,解：（1） 0b（2） 且a（3） （4） 求点的轨迹的例题例 已知关于 t 的一元二次方程 )R,(0)(2)(2 yxixytit（1）当方程有实根时，求点 的轨迹方程,yx（2）求方程的实根的取值范围思路分析（1）本题方程中有 三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而yxt、结论是要求动点 的轨迹方程，联想
4、到解析几何知识，求 的轨迹方程就是求关于),(yx ),(yx的方程，于是上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数 t，问题得解yx、（2）由上面解答过程中的知 可看作一条直线，由知0tyx是一个圆，因此求实根 t 的范围可转化为直线与圆有公共点的问题2)1()(解答（1）设实根为 t，则 0)(2)(2 iyxti即 0)2(yxyt根据复数相等的充要条件得 )2(12 txy由（2）得 代入（1）得xyt 0)(xy即 （3）2)()(2x所求点的轨迹方程为 ，轨迹是以（1，1）为圆心， 为半2)()(yx 2径的圆（2）由（3）得圆心为（1，1） ，半径 ，r直线与圆有公共点，则
5、，2)1(t即 ，2t 04t故方程的实根的取值范围为 ,思维诊断此题涉及到复数与解析几何的知识，综合性较强，学生往往不易入手，审题不到位，且有畏惧心理，是思维受阻的主要因素，在第（2）题求实根的取值范围时还可由（1）（2）消去 y 建立关于实数 x 的二次方程，用判别式 求出 t 的范围同时通过本题，同学们要进一步认识，把复数问题转化为实数问题求解的必要性，这是解决有关复数与方程问题惯用的手法，要切实掌握好复数相等的例题 2例 已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 ，求 x 与 yiyix)3()1(思路分析因为 y 是纯虚数，所以可设 ，代入等式，把等式的左、右两边都)0,R(biy整理
6、成 形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于 x 与 b 的方程组，求解后得 xbia与 b 值解答设 代入条件并整理得)0R(iy且 ibx3()12由复数相等的条件得 解得 12x234xb.4,iyx思维诊断一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决在解此题时，学生易忽视 y 是纯虚数这一条件，而直接得出等式 进行求)3(12yx解，这是审题不细所致复数相等的例题 3例 已知关于 x 的方程 有实根，求这个实根以及实数 k 的02)(2kixik值思路分析方程的实根必然适合方程，
7、设 为方程的实根，代入整理后得 的形式0x0bia由复数相等的充要条件，可得关于 与 k 的方程组，通过解方程组便可求得)R(ba、 0与 k0x解答设 是方程的实根，代入方程并整理得00)2()(02 ikxkx由复数相等的条件得 0解得 或2,0kx,2kx方程的实根为 或 ，相应的 k 值为 或 2k思维诊断学生易给出如下错解：方程有实根， 解得0)2(4)(kiik或 这是由于错把实系数一元二次方程根的判别式运用到了复系数一32k元二次方程中，事实上，在复数集内解复系数一元二次方程，判别式 不能够判断方程有无实根，这一点后面还会提到因此，解关于方程有实根的问题，一般都是把实根代入方程，
8、用复数相等条件求解复数的分类例题例 m 取何实数时，复数 （1）是实数？（2）是虚immz)5(3622数？（3）是纯虚数？思路分析本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数由于所给复数 z 已写成标准形式，即 ，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极)R(baiz、易解决此题解答（1）当 即 03152m时 ， 35 5mm即时或 时，z 是实数5（2）当 即 2时 ， 且当 且 时，z 是虚数3（3）当 即015262m时 352m且或当 或 时，z 是纯虚数思维诊断研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点如本题易忽略分母不能为 0 的条件，丢掉 ，导致解答出错03
