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1、2.2.1 等差数列,一,二,三,一、等差数列的概念 【问题思考】 1.填空: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d 表示. 2.如何用定义来判断或证明数列an为等差数列? 提示:定义法判断或证明数列an是等差数列的步骤: (1)作差an+1-an,将差变形; (2)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列an不是等差数列.,四,一,二,三,二、等差数列的通项公式 【问题思考】 1.填空:如果一个等差数列an的首项
2、为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d . 知识拓展1.等差数列通项公式的其他形式. (1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数). 2.等差数列的判断方法. (1)定义法:an-an-1=d(n2)或an+1-an=d数列an是等差数列; (2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n2)数列an为等差数列; (3)通项公式法:an=an+b数列an是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列. 2.要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件? 提示:因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两
3、个独立的条件.,四,一,二,三,四,三、等差中项 【问题思考】 1.填空: 如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y .,提示:x,A,y成等差数列,A-x=y-A,答案:A,四、等差数列的性质 【问题思考】 1.填空: 若数列an是公差为d的等差数列, (1)当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列.,一,二,三,四,一,二,三,四,(5)若数列an是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=ai+1+an-i=. (6)数列an+b
4、(,b是常数)是公差为d的等差数列. (7)下标成等差数列,且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成公差为md的等差数列. (8)若数列bn也为等差数列,则anbn也成等差数列.,一,二,三,四,2.做一做:(1)在等差数列an中,a2+a8=12,则a5等于 . (2)在等差数列an中,若a5+a9=13,a2=7,则a12等于 . 答案:(1)6 (2)6,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)若一个数列每一项与前一项的差都是常数,则该数列为等差数列. ( ) (2)数列an=3n+1的递推公式可以写成a1=4
5、,a2=7,2an=an-1+an+1 (n2). ( ) (3)在等差数列an中,若有am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q成立. ( ) (4)决定一个等差数列是递增数列的条件是首项a10,且公差d0. ( ) (5)等差数列的通项公式an=f(n)一定为关于n的一次函数. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,等差数列的判定或证明 【例1】 已知等差数列an的首项为a1,公差为d,在数列bn中,bn=3an+4,试判断bn是不是等差数列? 思路分析:可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+
6、1-bn是不是常数. 解法一:由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数), 则bn=3an+4=3a1+(n-1)d+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4. 由于bn是关于n的一次函数(或常函数,当d=0时), 故bn是等差数列. 法二:根据题意,知bn+1=3an+1+4, 则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数). 由等差数列的定义知,数列bn是等差数列.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练1若
7、数列an的通项公式为an=10+lg 2n,试证明数列an为等差数列. 证明:an=10+lg 2n=10+nlg 2, an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2)=lg 2(nN+), 数列an为首项a1=10+lg 2,公差为lg 2的等差数列.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,等差数列的通项公式及应用 【例2】 在等差数列an中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通项公式. 解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,解得a1=100,d=-10, 所以通项公式an=100-10(n-1)=-10n+110.,探究一
8、,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.等差数列通项公式的求法 (1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d. (2)等差数列通项公式的另两种形式: an=am+(n-m)d; an=pn+q(p,q是常数). 2.方程思想的应用 等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1.若本例中条件不变,问an中有多少项属于区间-18,18? 解:根据题意,设an
9、=a1+(n-1)d,所以an=-10n+110,令-18-10n+11018. 解得9.2n12.8. 又因为nN+,所以n=10,11,12, 即属于区间-18,18的项有3项,它们是a10,a11,a12. 2.若将本例中“a21=-100”改为“a19=100”,其他条件不变,结果如何? 解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,所以通项公式an=64+2(n-1)=2n+62.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,等差数列性质的应用 【例3】 (1)在等差数列an中,已知a1,a2 018为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2 017等于( ) A.10 B
10、.15 C.20 D.40 (2)在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= . 解析:(1)根据韦达定理及等差数列的性质可得a 2+a2 017=a1+a2 018=10. (2)因为数列an是等差数列, 所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5, 所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=210=20. 答案:(1)A (2)20 反思感悟等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若an为等差数列,则(1)当m+n=p+q(m,n,p,qN+)时,总有am+an=ap+aq;(2)当m+n=2k(m,n,kN+)
11、时,总有am+an=2ak.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练2设数列an,bn都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= . 解析:因为an,bn均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3, 即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1, 所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=221-7=35. 答案:35,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,构造等差数列求通项公式,思路分析:若利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,
12、当堂检测,反思感悟一般给出数列的递推公式求通项公式时,要根据递推公式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方法”“取倒数法”等,往往会构造出一个新数列满足等差数列的条件.从而利用新数列的通项公式,间接求出所求数列的通项公式.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练3已知数列an满足a1=1,an+1=2an+2n+1(n2,nN+),则数列an的通项公式为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,因未考虑到角标的不一致性而致误 【典例】 已知两个等差数列an:5,8,11,与bn:3,7,11,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项? 错解已
13、知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为an=3n+2,bn=4n-1(1n100).令an=bn,得3n+2=4n-1,即n=3.所以两数列只有1个数值相同的项,即第3项. 正解因为an=3n+2(nN+),bk=4k-1(kN+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,所以n= k-1.而nN+,kN+,所以可设k=3r(rN+),得n=4r-1.,可得1r25. 所以共有25个相同数值的项.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,纠错心得判断两个等差数列中具有相同数值的项,一般转化为方程的整数解问题,但要注意,数值相同的项的序号不一定相同,因此方程中需要引入两
14、个互不干扰的未知数才行.对于本题而言,数值相同的项,它们的项的序号并不一定相同.例如23在数列an中是第7项,而在数列bn中是第6项,我们也说它是两个数列中数值相同的项,也就是说,在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过,而并不关心它是这两个数列中的第几项.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( ) A.2 B.3 C.6 D.9,答案:B 2.在等差数列an中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.-8 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3.在等差数列an中,a3=7,a5=a2+6,则a6= . 解析:在等差数列an中,a3=7,a5-a2=6, 3d=6. a6=a3+3d=7+6=13. 答案:13 4.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .,
