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1、试卷编号：1-A 第 1 页 共 9 页天津理工大学考试试卷2006 2007 学年度第一学期数学模型 期末考试试卷 评分标准课程代码： 1502011 试卷编号： 1-A 命题日期： 2006 年 12 月 8 日答题时限： 90+60 分钟 考试形式：开卷、笔试+ 机试 得分统计表：大题号总分 一 二 三 四 五一、填空题（每小题 4 分，共 16 分, 必答题）得分（1） 建立数学模型的全过程是一个由表述、求解、解释、验证的迭代过程，其中表述是指： 根据建模的目的和掌握的信息，将实际问题用数学语言确切地表述出来；求解是指： 选择适当的数学方法求的数学模型的解答 ；解释是指： 把数学语言表
2、述的解答翻译回现实对象，给出实际问题的解答 ；验证是指： 用现实对象的信息检验得到解答，以确认结果的正确性 。( 2 ) “线性规划 ”问题 的基最优解是指既是最优解又是可行解),21(0.min21 nixbAtsccZin的向量 。其中可行解是指满足 约束条件 的向量 ； 最优解是指x x使目标函数 达到最优 的可行解。 根据 “基最优解存在定理” nccZ21， 若线性规划问题有最优解，则至少在 某个基本最优解 上找到； 若两个解 均是最优解，则它们的凸组合 也是最优 )2()1,x )2()1(xx)10解，此时最优解有无穷多个。 (3) “动态规划”的过程是一个 多阶段的决策 过程。
3、所遵循的最优性原理是： 最优决策序列的每一个截断仍是最优的 。 所谓“最优轨线”是指： 最优决策序列从前往后所历经的状态序列 。求解动态规划的“逆序算法”是指：依据基本方程，从后往前逐步递推求得试卷编号：1-A 第 2 页 共 9 页最优决策序列或轨线的过程 。(4) 运用“层次分析法”建立的数学模型一般是由 目标 层、 准则 层和 方案 层构成的一个 从上至下彼此关联递接 的层次结构。 二、 （本题 14 分）得分已知某宠物饲养基地饲养的种犬对饲料中的三种成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每只犬每天至少需要蛋白质 700 克，钙质 30 克，维生素 100 毫克。由于目前市场上没有专用饲
4、料，该基地不得不从市场上购买 5 种不同品牌的饲料 S1、S2、S3 、S4、S5 加工成混合饲料，该买 5 种不同品牌的饲料料 1 千克中所含营养成分及市场价格如下表所示营 养 成 分饲料 蛋白质（克） 钙质（克） 维生素（毫克）价格（元/千克）S1 3 1 0.5 2S2 20 0.5 1 7S3 10 0. 2 0.2 4S4 6 2 2 3S5 18 0.5 0.8 5请建立用来确定：即能满足该动物生长需要，又使总成本最低的混合饲料配方的 数学模型， 。（注：不必具体求解，但要写出求解的 MATLAB 语句。 ）解： 设 每只犬每日所需混合饲料中含饲料 S1、S2、S3、S4、S5 的
5、量分别为 千克 -2 分54321,xx目标函数：min - 3 分z543217xx约束条件： 70186031 .5. 5432xxx01- 10 分 ,ixi; ;3,472c10,37b;8.25.;,2.0186,03AAeq=;beq=;lb=0;0;0;0;0;0;ub=;试卷编号：1-A 第 3 页 共 9 页X,eflag=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f=c*X - 14 分三、 （本题共 15 分）得分某人外出旅游，需将 12 件物品有选择地装入行李袋，其最大负荷为 30kg.若设第 i 件物品的重量为,使用价值为 ，试建立：能求使其所选物品使用
6、价值最大的装包方案 的动态规划模型。iaic（要求：写出阶段变量、决策变量、状态变量、状态转移方程、阶段评价指标函数、过程评价指标函数、逆向递推的基本方程。 ）解： 阶段变量： 12,k决策变量： 选择第 k 件物品是否装入 - - 2 分kx 1,0kx状态变量： 选择第 k 件物品时行李袋中允许装入的重量 - 4 分s状态转移方程： ， - 6 分kkxa1 ,311s阶段评价指标函数： - 选择选择第 k 件物品的使用价值 -8 分0,),(kkkxcsr过程评价指标函数： 选择第 个至第 12 个物品的总使用价值的最大值 -10 分 kf逆向递推的基本方程：- 15 分1,2,10)(
7、)()(3211,0maksfxcsfsf kkxkk试卷编号：1-A 第 4 页 共 9 页四. 解答题（15 分）得分(1) 设卫星绕地球作匀速圆周运动，地球的质量为 M，地球半径为 R, ,地球表面的重力加速度为 g。若运载火箭将卫星送往离地面的距离为 h 的运行轨道，求运载火箭的末速度的计算公式。并计算h=600km 时的末速度（重力加速度为 ） 。2/8.9sm(2) 设一级火箭做垂直向上的直线运动， 时刻的飞行速度为 ，质量为 。初始质量为t)(tv)(tm，其中 为结构质量， 为燃料的质量， 为搭载卫星的质量。火箭喷pfsm0 sf p出的气体相对于火箭的速度为常数 。忽略重力和
8、空气阻力的影响，求飞行速度sk/3的计算模型。若 ，结构比 ，计算燃料耗尽时刻的末速度，并由此)(tv0p 10fsm证明了什么？解： （1） 设地球为均匀的球体，其质量为 M 全集中在地心卫星在地表时，地球对卫星的引力等于卫星的重量： （1）- 1 分mgRkM2卫星在离地面的距离为 h 的运行轨道上时，向心力=引力： （2）- 3 分hkv由（1）式知： 代入（2）式得： （3）- 5 分MgRkhRgv取 ，代入（3）得： - 6 分kmhsmg60,4,/8.92 skmv/6.7（2） 火箭在 到 时刻的动量的增量 = 消耗掉的燃料喷出气体的动量tt（4） - 7 分 )()()()
9、 ttttvv tvtt 上式两端取极限 并化简得： li0t dtmtv试卷编号：1-A 第 5 页 共 9 页解微分方程： 得： （5） - 9 分 0)(,0)(mvdtt)(ln)(0tmtv引入结构比： ，则由fsmpfs0知当火箭燃料消耗完毕时 ：f)(tps此时火箭的末速度 （6） - 11 分mvpsfln若火箭不搭载卫星（ ）则 （7） -13 0pmvln1llnsf取： ， 代入（7）式得：sk/31km/7由于 skmv/6.7这说明：即使一级火箭不搭载任何质量，它自己本身就达不到能使卫星在离地面的距离为 600km高度运行的最低末速度 ，也就证明了：用一级火箭发射卫星
10、的不可能性。 - 15 分/.五. 解答题（10 分）得分若某系统 L 由下列“一用一备”的 n 个相同的工作单元 D1,Dn 串联构成。 D1 Dn原件 的寿命 服从参数为 指数分布，备件 的寿命 服从参数为 指数分布，X1Y2定义元件 的可靠度 ，失效率 )()tXPtR)(tRfr（1）建立计算每个工作单元 Di 的可靠度和失效率的模型。（2）建立计算整个系统 L 的可靠度的模型。解：（1）因为原件 的寿命 服从参数为 指数分布， X1X1 YX1 Y试卷编号：1-A 第 6 页 共 9 页故 的密度函数 ，分布函数 =X0,)(11xxfe)()1tXPtFtie1则原件 的可靠度 ，
11、失效率 tetXPtR1)()( 1)(tRftr同理：备件 的可靠度 ，失效率 YtFtYt 2)()()22 22)(tft每个工作单元的寿命 的分布密度 XZ)(*21tftfZ每个工作单元的可靠度 ： )() YXPYPtRdxtft201 dxdxtttt ee 0)(21)(201 221)(21)(ett tt )(1121（1） - 4 分tttR)(2每个工作单元的失效率： （2） - 6 分ettztfr )(11211)(（2） 系统 L 由 n 个相同的工作单元 D1,Dn 串联构成设 第 i 各单元的 可靠度 ，i=1,2,3,n， 第 i 各单元的寿命。)(tRi
12、D显然： = ，i=1,2,3,n i ett )(1121系统 L 的可靠度 ： ),()2tMinZPt nLL = )1tRin ntte)(1121（3） - 8 分nttLt )(11211)( 系统 L 的失效率： （4） -10 分nttLnefftRfftr )(11221 2*)(*六. 上机题（共两题，从中任选一题，满分 40 分。写出简要过程，解题程序网上提交。 ）得分试卷编号：1-A 第 7 页 共 9 页第一题：设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品的价格的统计数据如下：（1） 求 需求量随消费者平均收入变化的规律？并预测消费者平均收入为 1500 的需求量。（要求：写出模型及预测结果） -10 分Y= -0.0004 X2 + 0.6062 X -203.3461 ; Y(1500)= 78.6027（2） 求需求量随商品价格变化的规律？并预测商品价格为 6 时的需求量。（要求：写出模型及预测结果） -20 分Y= 0.6356X3 -10.8851X2 + 47.7825 X + 46.2147 Y(6)= 78.3333 （3） 求需求量随消费者平均收入及商品价格的变化规律？并预测消费者平均收入为 1500，商品价格为 6 时的需求量。 （要求：写出模型和预测结果，并将
