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1、数学概念教学中的问题及其解决方法数学概念是事物空间形式和数量关系的本质属性在人脑中的反映，是进行数学思维的基本要素。只有正确理解和掌握数学概念，才能有效地进行判断、解释、推理、运算与解决问题。因此，概念教学在数学教学中具有十分重要的地位，一直是教学关注的重点之一。一、数学概念教学中的问题在传统的数学概念教学中，教师往往先举几个引入例，然后提出概念定义，在黑板上抄写定义，并要求学生复述，接着讲解例题，最后是练习、巩固。这一模式延续了数十年。新课程实施以来，传统的数学教学模式逐渐淡出了课堂。探究式、体验式、小组合作等学习方式被广泛运用到数学概念教学中来，课堂教学发生了前所未有的积极变化，激发了学生
2、数学学习的主动性和创造性。然而，伴随这一积极变化的同时，数学概念教学出现的新问题也不容忽视。主要表现为以下几个方面。1. 兜圈子，绕弯子不少教师注重在概念教学中创设问题情境，注重激发学生的学习兴趣和探索新知识的强烈愿望，取得了良好的效果。然而，问题情境也是一把“双面刃”，运用不当，会产生“冗余效应”和“分散注意效应”。例如，某位数学教师在“对称图形”教学中，设计了“在优美的小提琴协奏曲梁祝化蝶选段的渲染中，学生开始观察碧草清清花盛开，彩蝶双双久徘徊的优美画面”的导入情境，接着提问学生：蝴蝶有什么特点？学生答道：“蝴蝶很漂亮”“一只蝴蝶大，一只蝴蝶小”不难看出，上述导入情境虽赏心悦目，但充斥了许
3、多与教学内容无关的信息，离数学中的对称图形知识相去甚远。导入活动虽然占用了较长时间，却没有一个学生从对称的角度指出蝴蝶图案的特点，未达到教学设计的预期目标。显然，这种兜圈子、绕弯子的情境活动设计，转移了学生的数学注意力。这是众多类似事例（如通过“乌鸦喝水”故事的模拟演示，让学生理解“占有空间”的含义等）中的一个典型案例。当前，概念教学设计中存在的简单问题复杂化现象，与一部分教师误以为情境一定要有新花样来吸引学生有着一定的关系。凡事要讲求效率，兜圈子、绕弯子、华而不实、教学效率低下都是不可取的。我们要珍惜课堂上的每一分钟，牢固树立课堂教学效率意识，上好每一节数学概念课。2. 重感知，轻认知感知是
4、人们认识事物不可或缺的心理过程，是对事物外部特征的直接反映，属于认识过程的感性阶段。感知所提供的对事物的认识是简单的、表面的、零散的。感知不等于认知。例如，学生感知到的“圆是由一圈弯弯的线组成的”“圆没有角，弯弯的，边很光滑”等外部特征并不等于“圆”的本质特征，也不是对“圆”的认知。因为这些外部特征均不涉及“圆”的“一中同长”的本质。然而，在概念教学，尤其是几何图形概念教学中，重感知、轻认知的现象却不在少数。例如，学习“角”，教师带了很多“角”的物品，让学生看一看、摸一摸，感知角的形状是“尖尖的”，以锐角的特征去表征角的本质特征；然后画出若干个与锐角形状相关的图形，判断它们是不是角。再如，在“
5、三角形的稳定性”教学中，比较普遍的做法是通过教师演示或让学生用手拉三角形木架感知是否坚固、不变形，并以此解释三角形的“稳定性”，而忽视从“三角形三条边的长度一定时，三角形的形状和大小不变”上引导学生理解三角形的稳定性，误导了学生。笔者认为，考虑到小学生的思维处于形象思维逐步向抽象思维过渡的发展阶段，在数学概念教学中，重视直观性、感知、体验，无疑是必要的。但如果止步于对事物的感知，忽视对概念本质特征的抽象与概括，这样做实际上低估了学生的学习能力，势必影响其抽象、概括能力和推理能力的发展。3. 重记忆，轻理解在概念教学中，重记忆、轻理解的现象仍然比较普遍。主要表现为以下两点。其一是偏重形式记忆。数
6、学中有一些概念是以符号或式子的形式表示其意义的，而且在运用中又往往直接和这些符号或式子打交道。由此造成一些教师在教学中疏于引导学生对概念意义的理解，偏重于学生记忆概念的外部表现形式。例如，在“倒数”概念教学中，部分教师喜欢从倒数的外部特征（分子、分母上下颠倒位置）入手，类比语文中特殊结构的复名词（“蜜蜂、蜂蜜”“天上、上天”等）引入“倒数”的概念，并且引导学生关注作为倒数的分子、分母互相颠倒这一形式上的特点。这样教学，效果似乎很好，但却淡忘了“倒数”概念的应用意义与作用，是一种舍本求末的做法。事实上也确实如此。如某教师在“倒数”教学中遇到学生提出“六分之四的倒数是九分之六”时，顿时蒙了：“六分
7、之四与九分之六是互为倒数吗？倒数怎么会是同分母分数呢？”这位教师为什么会发蒙呢？原来，他虽熟谙“乘积是 1 的两个数互为倒数”这一定义，但在潜意识中还是以“分子、分母互相颠倒”作为“倒数”概念表征的缘故。教学中类似的例子不少，如强调负数是带“”号的数，造成相当多的学生在学了字母表示数以后，总认为 a 一定是正数，a 才是负数。经验告诉我们，无论图形还是概念、名词，不理解其意义，单纯的、机械的形式记忆是靠不住的。形式记忆会影响学生后续知识的学习，是一种短视的教学行为。其二是偏重概念复述。概念的定义或描述是对概念本质特征和外延的说明，它是判断、解释、推理和应用的基础。怎样让学生掌握概念？有些教师只
8、是简单地让学生复述一遍概念的定义。结果，学生虽会背概念，但遇到具体问题时，却茫然不知如何用概念，即所谓“死知识”。例如，在探索四分之一+二分之一时，虽然许多学生对分数的意义熟记于心，但却有半数以上（54.5）的学生直接用分母加分母、分子加分子的方法求和（北京市海淀区翠微小学，刘莲，北京市海淀区上地实验小学，吴金华，2008）。这从一个侧面反映了相当多的学生受思维定势的影响，仍习惯于按整数加法的模式直接去相加，而不是结合分数意义去理解分数加法的意义（相同分数单位下的份数相加）。因此，衡量学生是否理解和掌握概念，不是看他会不会说概念或背概念，而是看能否在具体情境中做出正确判断、解释和运用。4. 重
9、枝节，轻本质在概念教学中，一些教师虽然重视了概念的理解，但往往关注枝节，从概念的枝节上提问题，忽视对概念的本质理解。例如，关于“角”的认识，许多教师都在角的大小与角的两边长短有无关系上做文章，花很大精力让学生讨论。实际上，教材中或教师、学生所画的角，不论角的两边画多长，本质上都是射线，是无限长的。区分这些角，并非看角的两边长短，而是看这两条边的位置关系，看这两条边的张口大小，这才是对角概念的本质把握。又如，一些学生误认为对边不在水平位置的平行四边形不是平行四边形。问题出在哪儿呢？原来是有些教师总结平行四边形特征时强调“上下两条边平行，左右两条边也平行”这一非本质特征的缘故。再如，有的教师在“体
10、积和容积”教学中，提出了这样的问题：水杯的体积与容积哪个大？同一个物体的体积是否一定大于容积？试想，这是体积与容积概念的本质吗?事实上，体积与容积哪个大是一个与度量有关的问题，不是体积与容积概念的本质问题。若容器(如水杯)的厚度可以忽略不计，则它的体积与容积在数值上便相等。上述四个方面的问题既有区别又有联系，一方面反映了一些教师在概念教学理念上的偏差，另一方面也反映了部分教师在数学概念理解上的偏差。二、数学概念教学问题的解决方法为克服和解决数学概念教学中存在的上述问题，笔者认为应从以下两个方面入手解决。1. 简化导入情境，开门见山学生的概念学习，是在教师的指导下，按照预定的教学目标主动获得概念
11、和建构意义的过程。对于重要的数学概念教学，首先要使学生认识到引入新概念的必要性。这样做既可以激发学生的学习兴趣和探索新知识的强烈愿望，又能激活学生的思维。其深层意义还在于使学生逐渐认识到，数学中乃至科学中任何新概念的提出都是一种需要，数学概念并不是某个人或数学家臆想出来的东西。概念教学的第一步就是导入概念。概念如何导入，将直接关系到学生对概念的理解和接受。在数学教学中，概念导入有问题导入、故事导入等多种方式。无论以什么方式导入，一要适合儿童的情趣，二要利于学生建立起清晰的表象。为此，要简化导入情境，做到开门见山。具体来说就是：围绕提出新概念的必要性和概念的本质去创设简单的、有现实背景或数学背景
12、的情境，并配以逐步递进的问题（问题串）。例如，在“对称图形”的概念教学中，有的教师设计了这样的情境：首先，逐一呈现生活中常见的对称图形（飞机、三叶草、蝴蝶、蜜蜂、“喜喜”字等图案），在欣赏的过程中感受图形的对称美。接着，提出问题：（1）仔细观察这些图形的形状（提示：左右两部分或上下两部分），你发现它们有什么共同的特点？（2）对折这些图形（事前发给每个学生上述图形的图片），你又发现了什么？它和你通过观察发现的特点有什么关系吗？通过观察和折纸活动，引导学生探索、发现对称图形的基本特征。课堂上虽然没有热烈的场面，但学生个个聚精会神地投入到观察和折纸活动之中，认真思考问题。通过实践与思考，在交流和讨论
13、中学生认识了对称图形具有“图形的一部分沿直线对折后与另一部分能完全重合”的特征。实践表明，该情境设计开门见山，紧紧围绕教学目标（经历发现对称图形基本特征的探索过程，认识对称图形的基本特征）展开新知识的学习活动，给学生提供了充分的从事数学活动的机会（观察与实践操作），帮助学生建立起清晰的表象，激发了学生数学学习的积极性。学生在获得数学知识的同时，还获得了广泛的数学活动经验。上述案例具有普遍意义，值得我们认真思考与借鉴。2. 巧设问题情境，理解概念概念教学的第二步就是理解概念。正确理解概念是运用概念解决问题的基础，十分重要。理解概念，不能仅停留在字面意义或图形的说明上，而应重在理解概念的要素及相互
14、关系。因为概念的要素是构成概念的基本元素，它们之间的相互关系反映了概念的本质特征。为了帮助学生理解概念，可将其分为初步理解概念和深入理解概念两个层次。“初步理解概念”是指弄清概念的构成要素及相互关系。这是理解概念的基本要求。通过怎样的途径和方式能较好地帮助和促进学生理解概念呢？一个有效的策略是在问题情境中理解概念。这是因为数学概念的本质比较抽象，难以直接看出来。在问题情境中学习，可以变抽象为具体，既有利于学生理解概念，又便于考查学生是否理解概念。例如，针对学生初学减法时，在运用中常常将加法和减法相混这一现象，某教师设计了如下问题情境：“（图示）一条船上共有 9 个人，船舱外有 4 个人。下面哪
15、个算式可以直接用来表示船舱内有几个人？（1）9+4=；（2）9-4=；（3）9-=4；（4）+4=9。”该题的设计重点不是计算本身，而是侧重引导学生在面对一个新的问题情境时，思考选择哪种算法来解决问题。这就需要学生对各选项中的运算意义和问题的意义有深刻的思考。本题的正确选项（2）代表了学生对减法意义的理解。又如，教学“角”概念，虽然有的教材直接从生活中的事物抽象出各种角的图形，且没有给出“角”的定义或描述性文字，但仍要注重对“角”概念的理解-其要素是“有同一个端点，有两条射线”。要素之间的相互关系是“由同一个端点引出两条射线组成的图形”。这个本质特征决定了“角”不限于形状是“尖尖的”这一种情形
16、，由同一个端点引出两条射线可以有各种不同的位置，其形状可以是“尖尖的”，也可以是“钝钝的”，还可以是“平平的”等。为帮助学生认识和理解角的含义，有的教师做了这样的设计：（1）设计画角活动（要求画 3个不同的角）；（2） 呈现角的各种变式图形（直角、钝角、平角等），判断这些图形是不是角，并说明理由；（3）呈现角的简单组合（如），指出其中有哪几个角，并说明理由。问题（1）不是单纯的画角练习，而是通过要求学生画不同的角，侧重引导学生思考什么是不同的角，从角的外延上帮助学生理解角的含义。问题（2）是对问题（1）的补充，针对部分学生存在的“角是尖的”这一思维定势，引导学生在面对一个新的问题情境时，认真思考角的含义，从而做出正确的判断。问题（3）是解决复杂情境下角的辨别。学生在辨别时需思考角的含义，并据此从复杂的情境下分离出构成角的要素。这种有层次、多角度的理解角的概念的问题情境设计，在教学实践中取得了预期效果。有些概念（如圆）的要素涉及位置和大小（数量关系），搞清楚它们的不同作用，直接关系到该知识的拓展与应
