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1、高考数学知识点讲座：考点42用空间向量法解题（三大角、距离、体积、平行于垂直等问题）一.考纲目标会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角；会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）和距离公式计算七种距离二知识梳理1异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法3直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面所
2、成的角是直角，一直线平行于平面或在平面内所成角为0角直线和平面所成角范围： 0，（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4公式：平面a的斜线a与a内一直线b相交成角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；6二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱
3、，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角说明：二面角的平面角范围是；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7二面角的求法：几何法；向量法来源:8求二面角的射影公式：，其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形F的面积，是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小9三种空间角的向量法计算公式：异面直线所成的角：；直线与平面(法向量)所成的角：；锐二面角：，其中为两个面的法向量10.点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离, 即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与
4、内一点所得的线段中，垂线段最短16.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)17.两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长18.两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离19七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、
5、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求来源:20.用向量法求距离的公式：直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量例题解析1.异面直线所成角例1. 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为A B C D 答案：C解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CDBA,因此求EBA中ABE即可，易知EB=,AE=1,AB=,故由余弦定理求cosABE=，或由向量法可求.例2 2011天津卷 如
6、图18所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长【解答】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，)(1) 易得(，)，(2，0,0)，于是cos，.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，) 设平面AA1
7、C1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)同样地，设平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角AA1C1B1的正弦值为.(3)由N为棱B1C1的中点，得N. 设M(a，b,0)，则.由MN平面A1B1C1，得即解得故M. 因此，所以线段BM的长|.2. 线面角例32013湖南卷 如图14所示，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)证明：ACB1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解：方法二 (1)证明：易知，AB，AD，AA1
8、两两垂直，如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)从而(t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1，0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，1(0，3，3)，(，1，0)，(0，1，0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即 令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则
9、sin|cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.3. 二面角例42013新课标全国卷 如图13所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD； (2)求二面角DA1CE的正弦值解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，联结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD. (2) 由ACCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(
10、2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即 可取n(1，1，1)同理，设m为平面A1CE的法向量，则 可取m(2，1，2)从而cosn，m，故sinn，m. 即二面角DA1CE的正弦值为.例52013天津卷 如图13所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE； (2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长解：方法一：如图，以点A为原点建立
11、空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)来t(1) 证明：易得(1，0，1)，(1，1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)(1，2，1)，设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2，1)由(1)，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1，0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sinm，.所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3) (0，1，0)，(1，1，1)设(，)，01，有(，1，)可取(0，0，2
12、)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，|.于是，解得(负值舍去)，所以AM.4.线面、面面垂直 例7.2011湖北卷 如图14，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值【解答】解法2：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)，于是(0，4,4)，(，1,1)，则(0，4,4)(，1,1)0
13、440，故EFA1C.(2)设CF(04)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，)，(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得 即取m(，4)，又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos，sin，所以tan，由04，得，即tan，故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值.例8. 已知直角梯形ABCD与等腰直角APB所在平面互相垂直，ADBC，APBABC90，ABBC2AD2，E为PB的中点(1)求证：直线AE平面PCD；(2)求平面PCD与平面PAB所成角的正弦值(1)证明如图1取PC的中点F，连接EF、DF.在PBC中，PEEB，PFFC，所以EF綊BC，又AD綊BC，所以EF綊AD，故四边形AEFD为平行四边形，所以AEDF，又因为AE面PCD，DF面PCD，所以AE平面PCD.(2)解如图2，取AB的中点O，CD的中点Q，连接OP，OQ.在APB中，APPB，OAOB，APB90，所以POAB，且POAB1.在直角梯形ABCD中，AOOB，DQQC，所以OQBC，又因为BCAB，所以OQAB，又因为面APB面ABCD，面APB面ABCDAB，所以OQ面PAB.以O为坐标原点，分别以OP、OB、OQ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则P(1,0,0)，A(0，1,0)，B(0
