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1、第 2 章 控制系统的状态方程求解要点： 线性定常状态方程的解 状态转移矩阵的求法 离散系统状态方程的解难点： 状态转移矩阵的求法 非齐次状态方程的解一 线性定常系统状态方程的解1 齐次状态方程的解考虑 n 阶线性定常齐次方程（2-1）0)(xtAt的解。先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为（2-0)(xa2）对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0saXs移项 x则 asxX0)(取拉氏反变换，得 00!)()(xkatett标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当 n=1 时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：定理 2-1 n 阶线性定常齐次状态方程
2、（2-1）的解为（2-00!)()(xkAtxetAt3）式中， 0!)(kkAtte推论 2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-0)(xttA4）的解为 （2-0)()xetxtA5）齐次状态方程解的物理意义是 将系统从初始时刻 的初始)(0tAe 0t状态 转移到 时刻的状态 。故 又称为定常系统的状态转移0xt)(tx)(0t矩阵。(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton）法)从上面得到两个等式 0!)(kkAtte)(11sILt其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为 的频域求法或拉Ate氏反变换法2
3、非齐次状态方程的解设 n 阶非齐次方程(2-6)0)()(xttButA将状态方程左乘 ，有te)()()(tBuetAxxAttAt 移项 积分，再移项左乘 ，得ttAtAdexetx00 )()()()( 定理 2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为tAtABuexetx00 )()()()( 从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制 u（t）的作用两部分结合而成。二 矩阵指数 的性质Ate1. )(11sILt2. e03. )(tAt4. tte1)(5. 若矩阵 A，B 满足交换律，即 AB=BA，则有 tBAtAte)(6. ktt7. 设 P 是与
4、A 同阶的非奇异矩阵，则有 eett118. dtAttA9. 传递性。对任意 ，且 ，有012,t012tt)()1()(02 tAtAtee三 的计算方法At1. 定义法 （2-6 ）0!)(kkAtte2. 拉氏变换法 （2-7）)(11sILeAt3. 特征值法这种方法分两种情况计算。首先，考虑 A 的特征值不重时（互异） ，设 A 的特征值为 i),21(ni则可经过非奇异变换把 A 化成对角标准形。即： PA1根据 的性质 7 写出te（2-8）ttttAne0021 根据定义，得 3121132 )(!)(!APttPAIttetAPmmm1)( 3211 !tttetAAIPt
5、 )2( eAt1从而可得：（2-9）10021 PeePtttAt n（2-9 ）式即为 A 的特征值不重时，计算 的公式。其中AteP 阵为把 A 化为对角标准形的交换阵。P 阵的特征向量的求法：（ ， ） （2-9）,1n0)(iiAI若矩阵 A 的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块 AJ 的矩阵指数 的分式为Ajte（2-10）jtjtjt jtnjtjtAjt eee0)!1(求矩阵指数 的分式为：Ate （2-11）1110)!( PeteetntPejjj jtjjAjtt 式中 P 是把 Aj 化为约当标准形的变换阵。当 A 既有 j 重根又有互异的根时：
6、（2-12 ）1PeetAtAtjP 阵的特征向量的求法：(2-13),121 njpp (2-14)0)()(0)(11121nnjj jAIpIAI(注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量 可放在 P 阵jp,21的前部，也可以放后，无严格规定。)4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法考虑 A 的特征多项式 nnaaI 11)(显然对 A 的 n 个特征值 ，有 。i,2, 0)(i根据 Cayley-Hamilton 定理有)( 11IaAannn这里可以看出矩阵 A 与 具有同等地位。i 移项 AaAaAnnnn 21121上式表明， 的线性组合。I,是因此，可设
7、 （2-15） 10 110 )()()(nk nkAt AttItte 式中， 是待定系数， 。ti,ni下面分两种情况确定待定系数：（1）A 有 n 个不同特征值 ,A 的特征值 与 A 具有同等地n,21 i位，则有 （2-16）itenkkiti ,)(10这里共有 n 个方程，可以唯一确定 n 个待定系数 。)(ti（2） 当 A 的特征值有重时，设 A 有 p 个互异特征值，r 个不同的重特征值，且各重数为 ， 。若 是 重特征值，则将jm,21jjm满足的方程 对 求 次导，这样共有 个独立方程。jkjnkttej10)(i1j j一般地，设 A 的特征值为 为单特征值p,21是
8、 重特征值pm为 重特征值。rpr有 nmjj1则 由下面 n 个独立方程确定：)(ti （2- 1011010)()( ,21)()( ,)(nkkjpmtmnkkjpjptjpnkkjptj ikt tded rtdde pipn jpjjpjpjjpjpi 个 方 程个 方 程个 方 程17）例 4 阶系统（n=4 ） ，有一个根重了 3 次，即 j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：（2-18） tttteettt 14123424131213210 60)()()( 然后按（2-15）式计算 10 110 )()()(nk
9、 nkAt AttItte 四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化1 离散系统的状态空间模型在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对 阶离散系统的差分方程n（2-19）kubkmkubk yaynyay mnn1110 若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即 （2-20）kTDuCxkTyGF)1(此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。例 已知某离散系统的差分
10、方程为kuykyk2123试求其状态空间表达式。解：选状态变量 ，则可直接写出2,1,321 kyxkyxkyx状态空间表达式。 kuxkxkx32133221y写成矩阵形式 ukxkx 10312012132kxy32显然这是能控标准形，若改变选择状态变量的方法，也可以将该离散系统的差分方程转换成另一种形式的状态空间表达式。2 线性定常系统状态方程的离散化线性定常连续系统的状态方成为（2-21）BuAx由第二章可知，其基本解式为 （2-22）ttAtAdrBuexetx000 )()()()( 取 ，式（1-53）变成,21,0kTkt（2-23）TkkAAexex)()1()()1( （2
11、-23 ）式的 在 和 之间，且有 常数。这是由 kTu于在离散化式采样器后面常放置零阶保持器，故输入 可以放到积分符号之外，从而有（2-24）TkkAAT kTBudexekx)1()( )1( 式中，令 ，则 ，而积分下限 ，则tdt。当积分上限 时，则 ，故kt)( k)1( 0)1(kt式（2-24 ）可化简为 0)()()1(TAATkTButdekxekx（2-25）0将式（2-25）与式（2-20）比较（2-26）)()(11AsILekTFA（2-27）TBdtG0例 已知某连续系统的状态空间表达式为uxx102212y试求其离散状态空间表达式。解：根据式(2-26)可求出离散
12、状态方程的系数阵 1110)()( sLAsILekTFATes010)(1其离散状态方程的输入阵根据式（2-27）写成dteBdtekTGTtA0010)( Tte10从而可得该系统的状态空间表达式 )(1)(01)( 2121 kTuekTxeTkxT )(21y3 离散系统的传递函数阵与连续系统相对应，离散系统也可以与传递函数阵作为数学模型来描述，为此对状态空间模型式（2-20）的两边取 Z 变换，有)()()(0zGUFXzDCY从而可推出（2-28）011)()() xFzIGUFzIX（2-29）011 )()() ICDICY若初值 ，则有0x（2-30）)()()1zUGFzI定义传递函数阵为（2-31）DGFzIc1)()五 线性定常离散系统状态方程的解对 n 阶线性定常离散系统（2-32）01xkuFk其求解方法有两种：1 递推法 102320 12011kjjk jGuFxkuxuFGx2 Z 变换法Z 是频域解法。对式（2-32）作 Z 变换，有0zGUFXzx移项 )(I左乘 1)(FzI )(0 11zzIxzX取 1Z )(GUFIZkx定理 2-3 n 阶线性定常离散系统式（2-32）的解为 )(1011010zGUxFzIZikxkkiikii
