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1、第一章 行列式 1计算 解: . 2计算 解:方法一 . 方法二 . 3计算 解:. 4计算 解:行列式按第1列展开,有 . 5计算 解: . 6计算 解:. 7计算 解: . 8计算 解:. 9计算阶行列式 解: 10计算 解:. 11计算 解:按第一行展开 得到递推公式 由于 ,于是得容易推出 . 12证明 证: 当时,;当时,结论成立.假设时,往证时也成立 所以 . 由数学归纳法结论成立. 13计算 解:由有 所以 ,.容易得到:于是 .14计算 解:方法一 . 方法二 . 15计算 解:. 16计算 解: (1) 又 (2)(1)(2) 而时 . 17证明: 其中为右边第一个行列式中元
2、素的代数余子式. 证: 18计算 解:因为 所以 . 19证明阶行列式 解: 20计算 解:方法一 而 时 时 . 方法二 21计算 解: 22计算 解:根据范德蒙行列式计算公式 23计算 解:行列式按第一列展开,得到 24计算 解:方法一行列式按第一列展开. 方法二当时,化为三角形行列式,即 若时,直接计算可知, 25计算 解: 26计算 解: 27计算 解:当且时, 当或时, . 28解方程组,其中 ,且互不相同. 解:解法一 因互不相同, 知 那么方程有唯一解,显然所以 . 解法二因 由克莱姆法则,方程解唯一,为 即 . 29设曲线经过点,求. 解:由题中条件知 (*) 解法一 所以,方
3、程组(*)解唯一.由克莱姆法则 . 解法二 所以 ,. 30设为奇数阶反对称阵(即),则. 解:设的阶数为,为奇数 由,有所以 . 31设,证明:存在,使得. 证:显然在上可微又由 由罗尔定理 ,使得. 32设求. 解: 于是 33解方程 解: 所以 或. 34计算阶行列式 解: 35计算阶行列式其中 解法一:按第1行展开(或按第1列展开)得 解法二:设,对的第列乘加到第1列上去得上三角形行列式 . 36计算阶行列式 解法一:按第1行展开得到 于是 解法二:按第列展开得 反复应用递推公式得 37计算 解:将按第一行展开 上式右端的两个行列式均按最后一行展开,得 利用上述递推公式,可得 ,而 ,
4、所以. 38计算 解法一:把行列式增加一行,增加一列变成一个与等值的阶行列式 将第1行元素分别乘加到第2行,第3行,第行上去,得 将列分别乘加到第1列上去,得上三角形行列式 解法二:将第列视为两项和,把拆成两个行列式的和,可得递推公式 在第一个行列式中,将第列分别乘以 ,依次加到和1列,第2列,第列,得三角形行列式,故 即 反复运用此递推公式得 . 39计算阶行列式 解: 40计算其中. 解:把第1行的倍分别加到,第行,得 当时,再把第列的倍加到第1列,就把化成了上三角行列式 当时,显然有,所以总有. 41计算行列式 解: 第二章 矩 阵 1求矩阵的逆 (1) 解: 则 . (2) 解: 则
5、. (3) 解:. 2求方阵的次幂 (1) 解: 其中:,有则 . (2) 解:用数学归纳法证明 当时,显然成立;假设当时,有,则 当时,有则结论成立. 3设,求. 解: 由于,所以 又由于 所以 4设,矩阵满足,求. 解:由于,得又由于 ,所以 ,即 . 5已知为3阶方阵满足,(1)证明可逆,并求;(2)若,求矩阵. 解:(1)由于,所以 ,即于是 ,故 可逆 且 . (2)由于,所以 ,于是 又由于 ,有于是 . 6求矩阵的秩 (1) 解:于是, (2) 解: 7设为三阶方阵且,其中,求. 解:由于,所以可逆 又由于 ,即,则于是 . 8设三阶方阵满足,其中,求. 解:由于,所以由,有,即
6、 ,得 又由于 ,所以.于是 . 9设为阶方阵,为阶可逆阵. 证明:. 证:设,由于,则进一步,. 10设为阶方阵,证明:不存在矩阵,使.证:由第九题,知,而但.故不存在矩阵,使. 11设均为阶方阵,为中元素的代数余子式,且.证明:;当时,如果为实矩阵,则. 证:由,有,即 . 由第九题,知,即的主对角线元素的和一定是0,即而故. 进一步,由行列式展开定理,则 当时,有. 由于,又由于为实矩阵,所以,即. 12为阶非零实阵,为中元素的代数余子式,则有下列结论 (i)且; (ii)且. 证:(i)当时,有,则于是, 由于 ,因此且. 反之,若且,由于. 于是,且可逆.因此,即. (ii)当时,有
7、,则于是, . 由于 ,因此且. 反之,若且,由于. 于是,且可逆. 因此,即. 13为阶方阵,对任意向量均有解,则对任意向量,均有惟一解. 证:由于对任意向量均有解,故,即. 而 . 即 因此,由Cramer法则,有惟一解. 14若阶方阵满足且,则. 证:由于,所以. 又由于 ,因此,.于是, 故 . 15设为阶方阵,且,则. 证:.故 16设为阶方阵,则. 证:由于 所以,. 17设均为对称阵,对任意向量,均有,则. 证:取,. 由于 ,所以. 又由于 ,所以.再取 . 由于,所以,即. 18设为阶反对称阵,证明:对任何向量,均有. 证:由于对任何向量,有为一阶方阵,因此于是,.因此,. 19设为阶反对称阵,证明:为正交阵 证: