信号的时域分解和卷积积分资料

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1、第三章 信号的时域分解 3-1 引 言 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简 单信号之和（或积分） ，通过系统对简单信号的响 应求解系统对复杂信号的响应。 在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信 号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出 系统对信号的响应。而在频域法中，我们将信号 分解为一系列正弦函数的和（或积分） ，通过系统 对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。 频域在工程中也有很重要的意义。很多信号 的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以 得到很多具有实用价值的结论。 如上章所述，通过信号分解的方法求解响应 要研究下面几个问题： 1） 如何将任意信号分解为一系列正弦信号 之和（或

2、积分） 。 2） 求系统对各个正弦子信号的响应，这个内 容在电路分析课程中已经有详细介绍； 3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统 对激励信号的响应。 本章将要研究的就是如何对信号进行分解和 合成。 3-2 信号在正交函数集中的分解 为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论 矢量的分解。 一、矢量的分解 1、矢量的定义 2、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法 3、矢量的分解： 1） 矢量的单矢量基的分解： 11A c 近似矢量A 误差尽可能小。 += 11A Ac 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小 的系数为： 11 1 1 AA AA =c 其中的 1 c称为矢量A和 1 A 的相似系

3、数。 如果 0 1 =c （或 0 1 =AA ） ， 则表明A和 1 A 相垂直 （又 称为正交） 。 2） 矢量的多矢量基分解： 将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组 合： = =+= n i iinn cccc 1 2211 .AAAAA ? 显然，如果知道了标准矢量 i A 和响应的 系数 i c ，就可以确定任意矢量。 ? 如何确定最佳的系数 i c ？情况比较复杂， 对于特定的 i 而言，i c 不仅与特定的 i A 有 关，与其它的标准矢量也有关系。但是如 果矢量 i A 两两正交，可以证明： ii i i c AA AA = 4、标准矢量基的几个限制条件： 1）归一化：标

4、准矢量的模等于 1方便计算 2）正交化：标准矢量两两正交 3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量 二、信号的分解 与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。 1、单个标准信号下的分解：在时间区间 ),( 21 tt 内，用 )( 11 tfc 近似任意函数 )(tf ，并使误差 进可能小。 1） 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误 差： = 2 1 )( 1 )( 2 12 2 t t dtt tt t 2） 最佳系数： = 2 1 2 1 )()( )()( 11 1 1 t t t t dttftf dttftf c （也称为函数 )(tf 和 )( 1 tf 的相似系数。 3） 如果

5、 0 1 =c （或 0)()( 2 1 1 = t t dttftf ） ， 则称 )(tf 和 )( 1 tf 正交。 4） 如果 )(tf 和 )( 1 tf 是复函数， 则其方均误差为： = = 2 1 2 1 )()( 1 )( 1 )( * 12 2 12 2 t t t t dttt tt dtt tt t 最佳系数为： = 2 1 2 1 )()( )()( * 11 * 1 1 t t t t dttftf dttftf c 2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标 准信号的线性组合： = =+= n i iinn tfctfctfctfctf 1 2211 )()(.)

6、()()( 这里的 i c 同样难以确定。但是如果标准函数 )(tfi 之间两两正交，则可以证明： = 2 1 2 1 )()( )()( * * t t ii t t i i dttftf dttftf c 例：标准信号集： 泰勒级数 ,.,., 1 32k xxxx ， 三角函数： ,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 1ktkttttt 3、对标准信号集的要求： 1）归一化： 1)()( 2 1 * = t t ii dttftf 2）正交化： 0)()( 2 1 * = t t ji dttftf ， ji 3）完备性：可以用其线性组合表示任意信号。 完备正交函

7、数集一般都包含无穷多个函数， 例如：三角函数集，沃尔什函数集等。但在实际 应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数， 只能近似表示任意函数。 附：矢量与函数的运算与分解比较： 矢量 函数 加法 21 AA + )()( 21 tftf+ 标乘 2 Ac )( 1 tfc 乘法 cos 21 21 AA AA = dttftf t t 2 1 )()( * 21 正交 0 21 =AA 0)()( 2 1 * 21 = dttftf t t 归一 1=A 1)()( 2 1 * = dttftf t t 误差 21 AA = )()()( 21 tftft= 误差 代价 函数 2 = 2 1

8、)( 1 )( 2 12 2 t t dtt tt t 系数 11 1 1 AA AA =c = 2 1 2 1 )()( )()( * 11 * 1 1 t t t t dttftf dttftf c 3-3 信号表示为傅利叶级数 傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。它 在工程中有很广泛的用途。 一、三角函数形式的傅利叶级数 这种正交函数集为： ,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 1tktktttt 其中： 12 22 ttT = 或将正交函数集表示为： ,.2 , 1 , 0)sin(),cos(=ntntn 可以证明该函数集满足： 1）正交性：函数集中的函数两两

9、相正交。 0)sin()cos( 2 1 = dttmtn t t nm dttmtn dttmtn t t t t = = 0)sin()sin( 0)cos()cos( 2 1 2 1 2）当0n时： 22 )(sin)(cos 12 22 2 1 2 1 ttT dttndttn t t t t = 12 2 1 1ttTdt t t = ? 可以将任意函数 f(t)在这个正交函数集中展开 （表示成该正交函数集函数的线性组合） ： () + = += + += 1 0 21 210 sincos .sin.2sinsin .cos.2coscos)( n nn n n tnbtnaa t

10、nbtbtb tnatataatf 其中的系数可以根据3-2 节的结果计算出： = = = 2 1 2 1 2 1 2 1 0)( 1 0 )cos()( 2 )(cos )cos()( 12 12 2 t t t t t t t t n ndttf tt n dttntf tt dttn dttntf a = = 2 1 2 1 2 1 )sin()( 2 )(sin )sin()( 12 2 t t t t t t n dttntf tt dttn dttntf b 其中 n a 的表达不太方便。为了方便表达，将分解 式改写： () + = += 1 0 sincos 2 )( n nn

11、tnbtna a tf 则系数为： = 2 1 )cos()( 2 12 t t n dttntf tt a = 2 1 )sin()( 2 12 t t n dttntf tt b 所以，信号可以表示成为直流信号和一系列 正弦信号之和。 ? 另外一种分解方式：令： 22 nnn baA+= ， n n n a b arctan= ， 则上面的分解式可以表达成： () + = += 1 0 cos 2 )( n nn tnA a tf 它可以看成是下列正交信号集： ,.2 , 1 , 0)cos(=ntn 的平移后的线性组合。 ? 在上面的系数中，n a 和 n A 是 n 的偶函数；n b

12、和 n 是 n 的奇函数；如果 f(t)是实数信号。 ? 上面的分解等式的左右两边的函数是否相等， 没有误差？或者，是否随着 n 趋向于无穷大， 等式右边的函数收敛于左边的函数？Direchlet 证明，只要满足下面三个条件，等式就收敛： 1）f(t)绝对可积，即： 2 1 )( t t dttf 2）f(t)在区间内有有限个间断点； 3）f(t)在区间内有有限个极值点。 实际信号大都满足这个条件。 ? 等式右边是多个周期为 T 的函数的和，它仍然 是周期为 T 的函数。 ? 这种分解可以用在两个场合： 1）研究函数在 ),( 21 tt 区间内的分解 2）研究周期为T的函数在整个时间区间内的

13、分 解。 本课程中研究的是 2） 。 ? 如果 f(t) 周期为 T 的函数,为了方便讨论， 一般 函数的主值区间取 2 , 2 TT ? 在函数的分解中： 2 0 a 称为信号的直流分量； tacos 1 、 tasin 1 或 )cos( 11 +tA 称为信 号的基波分量； tnancos 、 tnansin 或 )cos( nn tnA+ 称 为信号的 n 次谐波分量； ? 一般情况下，n 无法计算到无穷大，只能取有 限。这时，这种正交展开是有误差的。n 越大， 误差越小。 例：方波的傅利叶级数，P97。 22 )cos( nn n n ba a + = , 22 )sin( nn n

14、 n ba b + = = = = = 2 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 )sin()cos()( 2 )sin()( 2 )cos()( 2 t t tjn t t t t t t nnn dtetf T dttnjtntf T dttntf T jdttntf T jbaA & ? 两种推导过程得到的答案应该相同。对比两个 系数计算公式，可以得到： 222 nn j nn n jbaeAA c n = & 这个等式反映了 n c 与 n A 、 n 或 n a 、 n b 之间的 关系。 例如：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算 结果，很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为： =

15、为偶数当 为奇数当 n n n jb jc n n 0 2 2 ? () Ine tnj 表示一种复正弦信号。其中 n 可 以为正， 也可以为负， 这时就会出现频率n小 于零的负频率。这在物理上并没有意义，只是 在数学上可以带来方便。 ? 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于 理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很 多方便之处，所以应用广泛。 三、函数的奇偶性与其傅利叶级数关系 函数的奇偶性对于傅里叶级数的系数有 一定的影响。掌握这些性质有利于傅里叶级 数系数的计算。 1、 如果函数是偶函数，则其傅利叶级数中只有直 流和余弦分量。 或：偶函数之和仍然是偶函数。 2、 如果函数是奇函数，则其傅利叶级数中只有正 弦分量。 或：奇函数之和仍然是奇函数。 ? 任意的函数都可以分解为一个奇函数和一个 偶函数的和这一点可以从傅利叶级数展 开式中看到，也可以从下面的分解得到： 2 )()( 2 )()( )()()( tftftftf tftftf oe + + =+= ? 信号的平移可以使函