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1、第四节 幂级数,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、小结 思考题,一、函数项级数的概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛法,定理证毕
2、.,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),2.和函数的分析运算性质:,(收敛半径不变),(收敛半径不变),解,两边积分得,解,收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数,三、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,练 习 题,练习题答案,
