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1、3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,1.系统因果性的必要条件佩利-维纳准则系统因果性指的是系统冲激响应为因果信号，因果性是系统物理可实现的充要条件。佩利（Paley）和维纳（Wiener）证明了系统物理可实现的必要条件是：对于平方可积的系统函数 而言，系统物理可实现的必要条件是,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,1.系统因果性的必要条件佩利-维纳准则如果系统幅度函数不满足此必要条件，则系统一定是物理不可实现的。显然，如果系统幅度函数在某个频带内恒为零，即 ，则由于 使得 违反了佩利-维纳准则，这样系统一定是物理不可实现的。这表明所有理想低通、理想高通、理想带通和理想带阻等理想滤波
2、器都是物理不可实现的。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,1.系统因果性的必要条件佩利-维纳准则研究高斯滤波器的非因果性。高斯滤波器的幅度函数为 用佩利-维纳准则检验之，有 这证明了高斯滤波器一定是非因果的，事实上其冲激响应也是一个高斯函数，所以系统是非因果的。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,1.系统因果性的必要条件佩利-维纳准则众所周知，有理函数仅有可数个孤立零点，因此它一定满足佩利-维纳准则由于满足佩利-维纳准则的幅度函数可对应于无限多个相位函数，由此组成的系统函数不一定是因果的只有满足了下一小节所述的希尔伯特关系的系统函数才是因果的这表明，佩利-维纳准则是必要条件，而
3、不是充分条件。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,2.时域因果性与频域希尔伯特性的对应关系因果系统的冲激响应满足称因果系统的系统函数具有希尔伯特性，即它的实部和虚部构成一个希尔伯特变换对幅度函数满足佩利-维纳准则的系统，当其实部和虚部构成一个希尔伯特变换对时，系统是物理可实现的。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,3.最小相位系统的希尔伯特关系可逆的因果稳定系统是最小相位系统。可以证明，最小相位系统的对数幅度函数与相位函数构成一个希尔伯特变换对，即,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,3.最小相位系统的希尔伯特关系这是因为最小相位系统的对数谱一定有因果的称之为复倒谱（co
4、mplex cepstrum） 的时域特性，即复倒谱是因果的连续时间信号（反之亦然），而对数谱的实部和虚部分别为对数幅度谱和相位谱，因此根据时域因果性与频域希尔伯特性的对应关系，就有上述结论。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,3.最小相位系统的希尔伯特关系该结论的证明涉及第4章讨论的系统零极点的概念，这儿只给出启发式的理解：由于 使得 ，这样 因果要求 因果，从而要求 及 因果。实际上， 因果只是 因果的必要条件，并非充分条件。因为因果信号可以是非最小相位的。只有稳定、可逆的因果信号才是最小相位信号。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,3.最小相位系统的希尔伯特关系从幅度传递
5、函数求解对应的可逆因果稳定系统的步骤是：首先，计算对数幅度谱的逆FT，得到称之为倒谱的；然后， 计算对应的复倒谱 ，使它满足因果稳定系统的充要条件：系统冲激响应的复倒谱是因果的；再傅里叶变换之，得到对应的因果稳定且可逆的系统的对数传递函数 ；最后取指数变换，就得到系统函数 。如果需要系统的冲激响应，再取逆FT即可。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,4.解析信号的时域希尔伯特关系解析信号是有单边谱的复信号，不可能是实函数根据傅里叶变换的对偶性，由时域因果性和频域希尔伯特性的对应关系，很易得知，单边谱信号（即有因果频谱的信号）的实部和虚部构成一个希尔伯特变换对，即，如果，,3-6 系统因
6、果性与希尔伯特性的对应关系,5.希尔伯特滤波器冲激响应 的滤波器称为希尔伯特滤波器，其系统传递函数为 ，它是理想90度相移器，使输入信号的所有频率分量都滞后使用希尔伯特滤波器可以用来从一个具有双边谱的实信号得到其相应的具有单边谱的解析信号的虚部，从而实现实信号到解析信号的转换。由于解析信号占有的频带仅为普通实信号占有的频带的一半，在通信中得到了重要的应用：单边带通信。例3-26给出了利用希尔伯特滤波器结合复正弦调制实现单边带调制的原理框图。,3-6 系统因果性与希尔伯特性的对应关系,5.希尔伯特滤波器需要说明的是，理想希尔伯特滤波器是无限带宽的实际上，仅要求它在其输入信号的带宽内实现所需的相位滞后即可。另外，与理想低通滤波器相同，理想希尔伯特滤波器也是物理不可实现的。在实践中，只能使用滤波器最优逼近理论设计一个物理可实现滤波器去近似所需要的滤波器。,
