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1、初中数学规律题解题基本方法(一)数列的找规律初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进行探索:一、基本方法看增幅(一)如增幅相等(此实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例:4、10、16、22、28,求第n位数。分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是:4+(n-1)66n2(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列)。如增幅分别
2、为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是:1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;2、求出第1位到第第n位的总增幅;3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。举例说明:2、5、10、17,求第n位数。分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是:3+2(n-2)=2n-1,总增幅为:3+(2n-1)(n-1)2(n+1)(n-1)n2-1所以,第n位数是:2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。(三)增幅不
3、相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。二、基本技巧(一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,。试按此规律写出的第100个数是 。解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较:给出的数:0,3,8,15,24,。序列号: 1,2,3
4、, 4, 5,。容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1。(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。例如:1,9,25,49,(),(),的第n为(2n-1)2(三)看例题:A: 2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即:n3+1 B:2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关 即:2n (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。
5、再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。例:2、5、10、17、26,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24,序列号:1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为:n2-1,所以题中数列的第n项为:(n2-1)+2n2+1(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。例 : 4,16,36,64,?,144,196, ?(第一百个数)同除以4后可得新数列:1、4、9、16,很显然是位置数的平方。(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然,同时加、或减的可能性大一些,同
6、时乘、或除的不太常见。(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。三、基本步骤1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。2、 如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律3、 如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题四、【典型例题】例1 观察下列算式:用你所发现的规律写出的末位数字是_。例2 观察下列式子:; 请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来_。五、图形找规律小时侯我们都玩过搭积木的游戏,今天我们不妨重拾
7、童年趣事,利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形,探索规律。合作交流,探索规律:活动一:探索常见图形的规律,用火柴棒按下图的方式搭三角形填写下表:照这样的规律搭建下去,搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒?注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤: 寻找数量关系; 用代数式表示规律 验证规律。练习:四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面?五棱柱呢?十棱柱呢?n棱柱呢?活动二:探索具体情景下事物的规律问题1.若有两张长方形的桌子,把它们拼成一张大的长方形桌子,有几种拼法?问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子一张桌子可坐6人,2张桌子可坐 人。按照上图方式继续排列桌子,完成下表:问题3.如果按图3的方式将桌子拼在
8、一起2张桌子拼在一起可坐多少人?3张呢?n张呢?教室有40张这样的桌子,按上图方式每5张拼成1张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可坐 人。在中,改成每8张桌子拼成1张大桌子,则共可坐 人。活动三:探索图表的规律下面是2000年八月份的日历:日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?这个关系对其它这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么?你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示。你还能提出那些问题?4 图34是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点,得到图34;再分别连结图34中间的小三角形三边的中点,
9、得到图34,按此方法继续下去,请你根据每个图中三角形个数的规律,完成下列问题。 (1)将下表填写完整图形编号12345三角形个数159(2)在第n个图形中有_个三角形(用含n的式子表示)。个数1234567周长581114六、巩固练习题1用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖 块;(2)第个图案中有白色地面砖 块。第三个第二个第一个2下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案,图案的每条边(包括两个顶点)上都有个棋子,每个图案棋子总数为S,按下图的排列规律推断,S与之间的关系可以用式子 来表示。3观察与分析下面各列数的排列规律,然后填空。5,
10、9,13,17, , 。4,5,7,11,19, , 。10,20,21,42,43, , ,174,175。4,9,19,34,54, , ,144。45,1,43,3,41,5, , ,37,9。6,1,8,3,10,5,12,7, , 。0,1,1,2,3,5, , 。180,155,131,108, , 。5,15,45,135, , 。60,63,68,75, , 。4你能很快算出吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成10+5,即求的值(为自然数),你试分析这些简单情况,从中控索其规律,并归纳,推测出结论(在下面空格内填上你的控索
11、结果)。(1) 通过计算,控索规律:可写成可写成可写成可写成可写成 可写成 (2) 从第(1)的结果,归纳、推测得: (3) 根据上面的归纳、推测,请算出: 5观察下列几个算式,找出规律:121=412321=91234321=16123454321=25利用上面规律,请你迅速算出:1239910099321= 据你会算出123100是多少吗?据上你能推导出123的计算公式吗?12给出下列算式:,观察上面的一系列等式,你能发现什么规律?用代数式表示这个规律是 。例6如图,把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形,接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形,再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形,如此进行下去,试利用图形提示的规律计算: 例7把棱长为的正方体摆成如图的形状,从上向下数,第一层1个,第二层3个按这种规律摆放,第五层的正方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。112