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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)参数法证平几一、内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.二、例题例1如图已知：AB是O的直径，C是半圆上的一点，CDAB于D，N与O内切且与AB、CD分别切于E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.证明：设O，N半径分别为R和r，连接ON，NE.根据勾股定理：OE=， AE=OAOER+；OD=OEr=r， AD=OAODR+r根据射影定理AC2=ADAB=(R+r)2
2、R =2R2+2R2Rr=R2+2R+(R22Rr)=(R+)2AC= R+. AC=AE例2. 已知：ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，ACBC2ADDB.求证：CRt.证明：设ADx,则DBcx.代入ACBC2ADDB.得ab=2x(cx).2x22cx+ab=0.x=,又根据切线长定理得x，.c22ab=a22ab+b2.c2=a2+b2 . CRt.例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F，交AB于G.求证：.证明：设ABC边长为a,PDm,PE=n,BG=x,CF=y.DE是ABC的中位线，DEBC，DEBC.（1）
3、（2）：.，.例4.已知：如图四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且SABCSABDSBCD134.求证：M，N平分AC和CD.证明：设SABC1，则SABD3，SBCD4，SACD3416.设k (0k1).连结AN.根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得，SACN6k；, SAMN6kk6k2；, SBCN4k；, SABMk； SBMC1k.SACNSAMNSMNCSBCNSBMC6k6k2=4k(1k) . 6k2k1=0. k=；或k=.(k=.不合题意，舍去.)k=.AMMC，CNND .即M，N平分AC和CD.例5.已知：如图ABC中，AD是高，ABDCACB
4、D.求证：ABAC.证明：设ABc，ACb, BD=m, DC=n.根据勾股定理得 cb=bc， b=c. 即ABAC.例6. 如图已知：一条直线截ABC三边AB，BC，AC或延长线于D，E，F.求证：（曼奈拉斯定理）证明：设BDE，DEB，F.根据正弦定理：在BDE中，；在CEF中，；在ADF中，.Sin(180=Sin.即.三、练习671.已知：如图三条弦AB，CD，EF两两相交于G，H，I.IAGDHE，ICGFHB.求证：GHI是等边三角形.2.已知：在矩形ABCD中，APBD于P，PEBC于E，PFCD于F.求证：PA3PEPFBD3.已知：ABC的两条高AD，BE相交于H，求证：过
5、A，B，H三点的圆与过A，C，H三点的圆是等圆.4.已知：AB是O的直径，P是半圆上的一点，PCAB于C，以PC为半径的P交O于D，E.求证：DE平分PC.5.已知：ABC的两条高AD和BE相交于P，且ADBC，F是BC的中点.求证：PDPFBC6.已知：平行四边形ABCD中，AB，AC2BD2AB4AD4.求证：AB.7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的两边的乘积的比.8.已知：AB是O的直径，E是半圆上的一点，过点E作O的切线和过A，B的O的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线AC，BD交于F，EF的延长线交AB于H.求证：EF=FH.
6、9.已知：如图M和 N相交于A，B，公共弦AB的延长线交两条外公切线于P，Q.求证：PA=QB；PQ2=AB2+CD2. 10. 已知：正方形ABCD内一点P，满足等式PAPBPC123.求证：APB135.11.一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数a和b表示两直角边）练习67参考答案：1. 设IAa,ICb,IHx,HQy用相交弦定理列方程组.2. 引入参数，设DBC，PA2PBPD3. 设ABHACH，用AHSin表示两圆的半径.4. 设DFm,FE=n,PF=x,FC=y,P的半径为r,由相交弦定理，得mn=x(y+r)=y(x+r)
7、6.设ABa,AD=b,AC=p ,D=q (qp),则CosA=，A45度.7.设AB=a,BC=b.CD=c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v,，同理8.设EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可证EFBC，9. 设PAPCPDx，QBQEQFy,AB=a，CDEF 由切割线定理可知x=y,PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2=4PAPB+AB2=4PC2+AB2=4+AB2=AB2+CD211. 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁
8、螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃
9、肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈
10、袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂
11、膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈
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14、羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀
