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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(64)最大 最小值一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.在实数范围内(x+)20，若a0时，当x= 时， y 最小值=；若a0，y，这时取等号，则y 为最小值；若a0,b0,a+b=k .(k为定值).那么ab=a(ka)=a2+ka=(ak)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+, a2ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a 为正实数， 0. 即(y)24k 0，y2
2、4k0.y2(不合题意舍去)； y 2. y最小值=2.解方程组得a=b=. 当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, y是实数，y20.即0，6x3x2 0， x22
3、x 0. 解得0x2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=( x3)2+ 在区间0x2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. 当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a,b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k. 即 a和b是方程x2kx+k=0 的两个实数根.a,b都是正实数，0.即()24k0.解得k16；或k0 .k0不合题意舍去.当k16取等号时，a+b,ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例
4、3.如图ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.AHGABC， . y=. 当x=时，y 最大值 =. 即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4.如图已知：直线m n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，SPAB+SPCD最小？解：设BAC=，PA=x, 则PC=bx. mn，.CD=SPAB+SPCD=axSin+(bx) Sin=aSin(=aSin(2x+. 2x =2b2 (定值)，根据定理二
5、，2x +有最小值. 当2x =， x=时，SPAB+SPCD的最小值是(1)abSin.例5.已知：RtABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：SABC的最小值. 解：SABC=ab ab 2S.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r= . 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用r=1,ab=2S 代入，得 4+4S4(a+b) =0. a+b=S+1.ab=2S且a+b=S+1.a,b是方程x2(S+1)x+2S=0 的两个根.a,b是正实数，0，即 (S+1)242S 0，S26S+10 .解得S3+2或S32.
6、S32不合题意舍去.SABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图ABC中，AB=，C=30.求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=ya. 根据余弦定理，得()2=a2+(ya)22a(ya)Cos30 写成关于a 的二次方程：(2+)a2(2+)ya+y2(8+4)=0.a 是实数，0.即(2+)2y24(2+)y2(8+4)0，y2(8+4)2 0 . (8+4)y (8+4).a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三 AB和C都有定值. 当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2b22abCos30可求出a=b=4+2.三、练习641.x1,x2,x3,x4
7、,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是.2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是_.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是_.5.若x0,则x+的最小值是_.6. 如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.7.如右图ABC中，AB=2，AC=3，是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.8.下列四个数中最大的是 ( )（A） tan48+cot48
8、.(B)sin48+cos48.(C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. 9.已知抛物线y=x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且BAC为锐角，则AD的取值范围是_ 10.如图ABC中，C=Rt，CA=CB=1，点P在AB上，PQBC于Q.问当P在AB上什么位置时，SAPQ最大？11.ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当BAC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.ABC中B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.
9、14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在ABC的边BC、AC、AB上，若BDDC=CEEA=AFFA=k(1k) (0k1). 问k取何值时，SDEF的值最小？16.ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？练习64参考答案：1. 5. 2. 5，5 25. 3. 40cm 4. 4 5. 6 6.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，S=32SinBAC,BAC=90度时值最大.8.(A). 9. 3AD9 10. P在AB中点时，S最大值=，S=
10、x与x的和有定值，当x=x时，S值最大.11.当BAC=120度时，AD最大，在ABD中，设BAD=由正弦定理，当150=90时，AD最大.12.当x=时，有最大值；当x=1时，有最小值2 (仿例3).13.当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14. 内切圆半径的最大值r=(1) (仿例6).15. 当 k=时，SDEF=SABC，16.当PB=1时，S有最大值.16. 当点P是BC中点时，面积最大值是. 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆
11、肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅
12、蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆
