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1、对高中数学新教材第二章函数的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对本章内容力求学习得更好一些。函数这一章的内容可分为三个单元。第一单元：函数，主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。这部分是学习本章内容的基础。第二单元：指数与指数函数第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。2.1 函数关于函数的定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和y
2、，如果对于x在某一范围内的每个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.函数的三大要素是：定义.域、值域、对应法则。判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。2.2 函数的表示方法： 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； 列表法； 图象法。分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。甚至函数图象处处不连续，也可看作分段函数。例 D(x)= 如何确定常见函数的定义域？( 1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R；( 2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x取值的集合(R的子集)；( 3 ) 当f(x)是二次根式(偶次
3、根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合(R的子集)；( 4 ) 当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x取值的集合(R的子集)；( 5 ) 当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际问题中x取值的意义。例1. 已知f(x+1)=求f(0)，f(x).解： 当x=1时， x+1=0， f(0)= f(1+1)= (1)2 +6(1)+2 =3.法一：变量代换 令 x+1=t，则 x=t1， f(t)=( t1)2+6(t1)+2 =t2+4 t3f(x) = x2+4 x3. f(0) =3. 法二：配凑法f(x+1) =( x2+2x+1)+(4
4、x+4)+25 =(x+1)2+4(x+1)3 f(x) = x2+4 x3.例2 己知函数f(x)的定义域为0，1，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.解：02x10x， f(2x)的定义域为0，.0x+111x0， f(x+1)的定义域.为1，0.例3 求函数的值域.解：换元 设t=，则 t2 =12x. 2x=t2 +1. (t0). (t0)故值域为，.求值域的方法：观察、配方、换元、法等。 2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B上的函数f(x)，对任x1，x2B (x1x2)，如果都有f(x1) f(x2)，那么称函数f(x)在间B上是增函数，如果都有f(x1)
5、f(x2)，那么称函数f(x)在间B上是减函数.可以表述为：(x1x2)f(x1) f(x2)0为增函数，(x1x2)f(x1) f(x2)0为减函数，如果函数f(x)在某区间B上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B上具有(严格的)单调性，并把区间B叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一 函数的单调性(不说函数的增减性) 在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)函数”).实际上，函数的单调性不涉及区间端点问题，“上”包含了“内”，“内”却不包含“上”用“上”能较好地反映函数的整体性质. 在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)这仅仅是为了符
6、合语言使用习惯. 在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内或某某区间上单调递增(减)”)，实际上“单调递增(减)”可以是不严格的增(减)，而且也不仅仅对于区间来定义，它是更广泛的概念，中学不予介绍.类似地教科书中只引入“单调区间”，而不使用“单调递增(减)区间”这些词语.在教学中更不能省略成“单增”、“单减”. 增函数、减函数(不使用单调函数)，实际上“单调函数”通常是指整个定义域内只具有一种单调性的函数，不能在有的区间上增，有的区间上减.研究函数的单调性，必须在定义域内的给定区间上，例如 f(x)=的定义域是(，0)(0，+)，它在 (，0)上是减函数，在(0，+)上也是减函数
7、，但不能说在定义域内是减函数.怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？若函数f(x)、 g(x)在区间上B具有单调性，那么在区间B上：(1) f(x)与 f(x)+c(c为常数) 具有相同的单调性；(2) f(x)与c f(x)当c0时，具有相同的单调性；当c0时，具有相反的单调性；(3) 当 f(x)恒不为零时，f(x)与具有相反的单调性；(4) 当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性；(5) 当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x)+ g(x)也是增(减)函数；(6) 当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x) g(x)当f(x)、 g(x)两者都
8、恒大于0时，也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数.至于按定义来证明函数的单调性，通常须五步：取值求差变形定号判断(分解因式、配方等)2.4 反函数新教材关于反函数的定义是按照函数的定义来重新定义的。见教材P61页。由定义可知：反函数x=f1(y)的定义域、值域分别为函数y=f(x)的值域、定义域.这样定义的反函数有一定的局限性，事实上函数y=f(x)和x=f1(y)表示的是同一种关系，两者的图象是一致的，这样，在同一个坐标系中，如果不记住是从x到y还是从y到x，就分不清函数的图象和它的反函数的图象了.为此，我们按照用x表示自变量，用y表示函数的习惯，把函数式x=f1(y)中的字母
9、x，y对调一下，从而把函数y=f(x)的反函数x=f1(y)改写成y=f1(x).这样函数的解析式和图象都变了，叫做矫形反函数.在教科书中，函数的反函数都是指它的矫形反函数.一般地讲，如果一个函数有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.求反函数时，应先确定原函数的值域，这样，反函数的定义域便确定了.求反函数的步骡是“一解、二换”.一解：即首先由给出的原函数解析式y=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f1(y)；二换：即是将x=f1(y)中的x，y互换，得到y=f1(x).应该注意：(1) 在y=f(x)与x=f1(y)中，字母x，y但所表示的量相同，但地位不同，在y=f(x
10、)中，x是自变量，y是x的函数；在x=f1(y)中，y是自变量，x是y的函数.(2) 在y=f(x)与y=f1(x)中，字母x都是自变量，y是x的函数.即x，y地位相同，但这时x与y表示的量的意义却互换了.(3) 在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f1(y)是同一图象，而y=f(x)与y=f1(x)的图象关于直线y=x对称.注意利用函数图象来研究函数的性质函数图象可直观地，生动地反映函数的某些性质，因此研究函数性质应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.所以要注意观察函数图象的变化趋势，总结函数的相关性质，同时在研究函数性质时，头脑中要有相应函数图象来印证.因此，记住某些函数图象的草
11、图，养成分析问题的习惯，形成数形结合研究问题的意识.例1. 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)， f(a)=b，ab0，则g(b)=( ).(A) a (B) a1 (C) b (D) b1解：由f(a)=b，得g(b)=gf(a)， f(x)与g(x)互为反函数， gf(a)= a. g(b)=a. 故选(A).例2 己知 f()=，求f1 () .解：由f()=，得f(x)=.即 y= 解得 x= ， 故 f1 (x)=. 即 f1 () =.例3 求函数 的反函数.解：由) 解得 x2=y+1， x0， x= 又由 y=2x1(x0解得 x=. 的反函数为f1 (x)= 例4己知(
12、1，2)既在的图象上，又在其反函数的图象上，求a，b的值.解： 点(1，2)既在的图象上， 即 a+b=4， 又 点(1，2) 在的反函数的图象上， 点(2，1) 在的图象上. ，即 2a+b=1. 由、联立，解得 故 a，b的值分别为3、7.二、指数与指数函数2.5 指 数随着指数范围扩充，幂的运算性质可以合并和简化正整数指数幂的运算性质：(1) aman=am+ n (m、n N * )；(2) (a m)n=a mn (m、n N * )；(3) (ab)n=anbn (n N * )；(4) aman=am- n (a0 m、n N *， m0)；(5) ()n = (b0 ，且n N
13、 *)；当指数的范围扩大到整数集Z之后，幂的运算性质可以合并：(1) aman=am+ n (m、n Z)；(2) (a m)n=a mn (m、n Z)；(3) (ab)n=anbn (n Z).注意：零指数、负整指数幂底数不能等于0.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R，仉然符合上述三条运算性质：(1) aras=ar+ s (a0，r、s Q)；(2) (a r)s=a rs (a0，r、s Q)；(3) (ab)r=arbr (a0，b0，r Q).怎样证明？设r=，s=，(其中m、n互质，p、q互质，且n1，q1)(1) aras=a= =amqanq=amq+nq. aras=
14、 又 a rs = a+=a 由、得 aras=ar+ s .(2) (a r)s= =rs .(3) (ab)r=(ab) arbr.例1 计算：.解： 原式= =101+5 例2 化简：.解：例3 化简：解： 原式= =例4 计算 解：原式= =.例5 计算 解：原式=例6 己知 解：由 得 x2+x-2=47. 原式=2.6 指数函数在指数函数的解析式y=ax中，为什么规定a0且a1？(1)如果a=0，那么当x0时，ax0. 当x0时，ax无意义.(2)如果a0，那么对于x的某些数值，可使. ax无意义.例如当a=4，.且x=时，无意义.(3)如果a=1，那么对于任何xR，ax1.对它没有研究的必要.在规定了a0且a1以后，那么对于任何xR，ax都有意义且ax0，因此，指数函数的定义域是R，值域是(0，+).要注意指数函数的解析式y=ax中ax的系数是1.有些函数貌
