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1、写在前面的废话2014，又到了新的一年，首先祝大家新年快乐，也感谢那些关注我的博客的人。现在想想数据挖掘课程都是去年的事了，一直预告着，盘算着年内完工的分类算法也拖了一年了。本来打算去年就完成分类算法，如果有人看的话也顺带提提关联分析，聚类神马的，可是，。借着新年新气象的借口来补完这一系列的文章，可是，这明明就是在发。尽管这个是预告里的最后一篇，但是我也没打算把这个分类算法就这么完结。尽管每一篇都很浅显，每个算法都是浅尝辄止的，在deep learning那么火的今天，掌握这些东西算起来屌丝得不能再屌丝了。考虑到一致性与完备性，最后补上两篇一样naive的：组合方法提高分类效率、几种分类方法的
2、绩效讨论。希望读到的人喜欢。算法六：logistic回归由于我们在前面已经讨论过了神经网络的分类问题(参见R语言与机器学习学习笔记(分类算法)(5)，如今再从最优化的角度来讨论logistic回归就显得有些不合适了。Logistic回归问题的最优化问题可以表述为：寻找一个非线性函数sigmoid的最佳拟合参数，求解过程可使用最优化算法完成。它可以看做是用sigmoid函数作为二阈值分类器的感知器问题。今天我们将从统计的角度来重新考虑logistic回归问题。一、logistic回归及其MLE当我们考虑解释变量为分类变量如考虑一个企业是否会被并购，一个企业是否会上市，你的能否考上研究生这些问题时
3、，考虑线性概率模型P(yi =1)= 0 + 1xi 显然是不合适的，它至少有两个致命的缺陷：1、概率估计值可能超过1，使得模型失去了意义;(要解决这个问题并不麻烦，我们将预测超过1的部分记为1，低于0的部分记为0，就可以解决。这个解决办法就是计量里有一定历史的tobit模型)2、边际效应假定为不变，通常来说不合经济学常识。考虑一个边际效应递减的模型(假定真实值为蓝线)，可以看到线性模型表现很差。但是sigmoid函数去拟合蓝线确实十分合适的。于是我们可以考虑logistic回归模型：假定有N个观测样本Y1,Y2,YN，设P(Yi=1|Xi)=(Xi)为给定条件Xi下得到结果Yi=1的条件概率
4、;而在同样条件下得到结果Yi=0的条件概率为P(Yi=0|Xi)=1-(Xi)，于是得到一个观测值的概率P(Yi)=(Xi)Yi1-(Xi)1-Yi假设各观测独立，对logistic回归模型来说，其对数似然函数为：于是便可求解出logistic模型的MLE。二、logit还是probit?虽说sigmoid函数对边际递减的模型拟合良好，但是我们也要知道S型函数并非仅sigmoid函数一个，绝大多数的累积分布函数都是S型的。于是考虑F-1(P)(F为标准正态分布的累积分布函数)也不失为一个很好的选择。像这样的，对概率P做一点变换，让变换后的取值范围变得合理，且变换后我们能够有办法进行参数估计的，
5、就涉及到广义线性模型理论中的连接函数。在广义线性模型中我们把log(P/(1-P)称为logit，F-1(P)(F为标准正态分布的累积分布函数)称为probit。那么这里就涉及到一个选择的问题：连接函数选logit还是probit?logistic回归认为二分类变量服从伯努利分布，应当选择logit，而且从解释的角度说，p/(1-p)就是我们常说的odds ratio，也就是软件报告中出现的OR值。但是probit也有它合理的一面，首先，中心极限定理告诉我们，伯努利分布在样本够多的时候就是近似正态分布的;其次，从不确定性的角度考虑，probit认为我们的线性概率模型服从正态分布，这也是更为合理
6、的。我们来看一下经过变换后，自变量和P的关系是什么样子的：如果你确实想知道到底你的数据用哪一个方法好，也不是没有办法，你可以看一下你的残差到底是符合logit函数呢还是符合probit函数，当然，凭肉眼肯定是看不出来的，因为这两个函数本来就很接近，你可以通过函数的假定，用拟合优度检验一下。但通常，估计不会有人非要这么较真，因为没有必要。但是有一点是要注意的，logit模型较probit模型而言具有厚尾的特征，这也是为什么经济学论文爱用logit的原因。我们以鸢尾花数据中的virginica,versicolor两类数据分类为例，看看两种办法分类有无差别。probit.predictionsve
7、rsicolor virginicaversicolor 47 3virginica 3 47logit.predictionsversicolor virginicaversicolor 47 3virginica 3 47从上图与比较表格均可以看出，两者差别不大。三、多项式logit与order logit对于二项分类模型的一个自然而然的推广便是多项分类模型。我们借鉴神经网络里提到的异或模型，有：按照上面这种方法，给定一个输入向量x，获得最大h(x)的类就是x所分到的类。选择最大的 h(x)十分好理解：在类别选择问题中，不论要选的类别是什么，每一个类别对做选择的经济个体来说都有或多或少的效
8、用(没有效用的类别当然不会被考虑) ，一个类别的脱颖而出必然是因为该类别能产生出最高的效用。我们将多项logit模型的数学表述叙述如下：假定对于第i个观测，因变量Yi有M个取值：1,2，M，自变量为Xi，则多项logit模型为：与logistic回归的似然估计类似，我们可以很容易写出多项logit的对数似然函数：多项 Logit模型虽然好用，但从上面的叙述可以看出，多项 Logit 模型最大的限制在于各个类别必须是对等的，因此在可供选择的类别中，不可有主要类别和次要类别混杂在一起的情形。例如在研究旅游交通工具的选择时，可将交通工具的类别粗分为航空、火车、公用汽车、自用汽车四大类，但若将航空类别
9、再依三家航空公司细分出三类而得到总共六个类别，则多项 Logit 模型就不适用，因为航空、火车、公用汽车、自用汽车均属同一等级的主要类别，而航空公司的区别则很明显的是较次要的类别，不应该混杂在一起。在这个例子中，主要类别和次要类别很容易分辨，但在其他的研究中可能就不是那么容易，若不慎将不同层级的类别混在一起，则由多项 Logit 模型所得到的实证结果就会有误差。对于分类模型，我们还会遇到被解释变量中有分类变量的情形。对于连续变量解释离散变量，且被解释的离散变量是有顺序的(这个是和多项logit最大的区别)的情形，我们就需要考虑到order logit模型。其数学模型叙述如下：其中，F(.)表示
10、累积分布函数，当F表示正态分布的分布函数时，对应的是order probit;F表示logistic分布时，变对应order logit。与logistic分布类似，我们可以很容易写出其对数似然函数：四、dummy variable在logistic回归中，经常会遇到解释变量为分类变量的情形，比如收入：高、中、低;地域：北京、上海、广州等。这里对分类变量而言就涉及一个问题：要不要将分类变量设置dummy variable?这个问题的答案在线性模型中很显然，必须要这么做!如果我们不设置哑变量，而是单纯地赋值：北京=1，上海=2，广州=3，即我们将自变量视作连续性的数值变量，但这仅仅是一个代码而己
11、，并不意味着地域间存在大小次序的关系，即并非代表被解释变量(响应变量)会按此顺序线性增加或减少。即使是有序多分类变量，如家庭收入分为高、中、低三档，各类别间的差距也是无法准确衡量的，按编码数值来分析实际上就是强行规定为等距，这显然可能引起更大的误差。但是在logistic回归中，由于logit(p)变化的特殊性，在解释定序变量时，为了减少自由度(即解释变量个数)，我们常常将定序变量(如家庭收入分为高、中、低)视为连续的数值变量，而且经济解释可以是XX每提高一个档次，相应的概率会提高expression(delta(XX)(expression的表达式还是很复杂的，不打了)。当然减少变量个数是以
12、牺牲预测精度为代价的。毕竟数据处理是一门艺术而非一门技术，如何取舍还得具体问题具体分析。当然，非定序的分类变量是万万不可将其视为数值变量的。五、广义线性模型的R实现R语言提供了广义线性模型的拟合函数glm()，其调用格式如下：glm(formula, family = gaussian, data,weights, subset,na.action, start = NULL, etastart, mustart, offset,control= list(.), model = TRUE, method = glm.fit,x =FALSE, y = TRUE, contrasts = NU
13、LL, .)参数说明：Formula：回归形式，与lm()函数的formula参数用法一致Family：设置广义线性模型连接函数的典则分布族，glm()提供正态、指数、gamma、逆高斯、Poisson、二项分布。我们的logistic回归使用的是二项分布族binomial。Binomial族默认连接函数为logit，可设置为probit。Data：数据集鸢尾花例子使用的R代码：logit.fit - glm(SpeciesPetal.Width+Petal.Length,family = binomial(link = logit),data = iris51:150,)logit.pred
14、ictions 0,virginica, versicolor)table(iris51:150,5,logit.predictions)probit.fit - glm(SpeciesPetal.Width+Petal.Length,family = quasibinomial(link = probit),data = iris51:150,)probit.predictions 0,virginica, versicolor)table(iris51:150,5,probit.predictions)程序包mlogit提供了多项logit的模型拟合函数：mlogit(formula, d
15、ata, subset, weights,na.action, start = NULL,alt.subset = NULL, reflevel = NULL,nests = NULL, un.nest.el = FALSE, unscaled = FALSE,heterosc = FALSE, rpar = NULL, probit = FALSE,R = 40, correlation = FALSE, halton = NULL,random.nb = NULL, panel = FALSE, estimate = TRUE,seed = 10, .)mlogit.data(data, choice, shape = c(wide,long), varyi
