《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.2 对数函数新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.2 对数函数新人教b版必修1（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.2 对数函数,一,二,一、对数函数的定义 【问题思考】 1.指数式ab=N如何化为对数式? 提示:根据指数式与对数式的互化关系可知logaN=b. 2.在logaN=b(a0,且a1)这一关系式中,若把N看成自变量,b看成函数值,你能得到一个具有什么特征的函数? 提示:可以得到函数y=logax(a0,且a1),此类函数的特征是以真数作为自变量,对数值作为函数值.这类函数就是本节将要研究的对数函数. 3.填空. 函数y=logax(a0,a1,x0)称为对数函数,其中x是自变量.,一,二,二、对数函数y=logax(a0,a1,x0)的图象与性质 【问题思考】 1.利用初中所学的作图方
2、法作出函数y=log2x与函数y=log3x的图象,进而研究一下函数y=logax(a0,a1,x0)的底数变化对图象位置有何影响.,一,二,提示:在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=log2x及y=log3x的图象,如图所示,可以看出:底数越大,图象越靠近x轴.同理,当0a1时,底数越小,函数图象越靠近x轴.利用这一规律,我们可以解决真数相同,对数不等时底数大小的问题.,一,二,一,二,2.填写下表:,一,二,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)函数 (a0,且a1)是对数函数. ( ) (2)函数y=log2x是非奇非偶函数. (
3、) (3)函数y=logax(a0,且a1)的图象均在x轴上方. ( ) (4)y-4=logm(x+9)(m0,且m1)的图象恒过定点(-8,4). ( ) (5)当01时,y=logax为R上的增函数. (6)因为x2+10恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求对数函数的定义域,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟求对数函数定义域的步骤,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数函数的图象及应用 【例2】作出函数f
4、(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间 上的最大值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟与对数函数有关的图象问题注意以下规律: (1)一般地,函数y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称,函数y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,函数y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 利用上述关系,可以快速识别一些函数的图象. (2)与对数函数有关的一些对数型函数,如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其图象可由y=logax的图象,通过平移变换、对称变换或翻折变换而得到.,探究一,探究二,探究三,探究四,思
5、维辨析,将以上例题中的函数改为“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下问题. (1)利用函数图象,并写出函数的值域及单调区间; (2)若方程f(x)=k有两解,求实数k的取值范围.,解:(1)函数f(x)=|log3(x+1)|的图象如图所示. 由图象知,其值域为0,+),f(x)在(-1,0上是减少的,在0,+)内是增加的. (2)由(1)的图象知,当k0时,方程f(x)=k有两解,故k的取值范围是(0,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,利用对数函数的性质比较大小 【例3】 比较大小: (1)log0.27与log0.29; (2)log35与log65; (3)(lg
6、 m)1.9与(lg m)2.1(m1); (4)log85与lg 4.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两个函数值,由y=log0.2x在(0,+)上是减函数,得log0.27log0.29. (2)函数y=log3x(x1)的图象在函数y=log6x(x1)的图象的上方,故log35log65. (3)把lg m看作指数函数y=ax(a0,且a1)的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lg m与1的关系. 若lg m1,即m10,则y=(lg m)x在R上是增函数,故(lg m)1.
7、9(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,则(lg m)1.9=(lg m)2.1. (4)因为底数8,10均大于1,且108, 所以log85lg 5lg 4,即log85lg 4.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,4.本题恰好代表了几个典型的题型.其中题(1)是直接利用对数函数的单调性;题(2)是对数函数的底数变化规律的应用;题(3)是指数函数的单调性及对数函数性质的综合运用;题(4)是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时,需要找出中间量来“搭桥”,再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0,1等,可通过估算加以选择.,探
8、究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求复合函数的单调区间 【例4】 求下列函数的单调区间: (1)y=log0.2(x2-2x+2); (2)y=loga(a-ax). 分析:利用复合函数法确定其单调区间即可. 解:(1)令u=x2-2x+2=(x-1)2+110. 当x1时,u=x2-2x+2是增函数, 又y=log0.2u是减函数, 所以y=log0.2(x2-2x+2)在1,+)内是减函数. 同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-,1. 故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-,1, 单调减区间为1
9、,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2)当a1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax0,即ax0,即ax1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)内是减函数;当0a1时,函数y=loga(a-ax)在(-,1)内是增函数. 反思感悟求复合函数的单调区间的步骤: (1)求出函数的定义域; (2)将复合函数分解为基本初等函数; (3)分别确定各个基本初等函数的单调性; (4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,将本例题(1)中函数改为“y=log2(x2-2x+2)”,例题(2)中函数改为“y=loga(
10、ax-a)”结果又如何? 解:(1)y=log2(x2-2x+2)在1,+)内为增函数,在(-,1上为减函数. (2)当a1时,y=loga(ax-a)在(1,+)内为增函数; 当0a1时,y=loga(ax-a)在(1,+)内为减函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因忽视真数的取值范围而致误 【典例】 解不等式loga(2x-5)loga(x-1).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:错解一中没考虑真数的取值范围,也没有对a进行分类讨论;错解二中没有对a进行分类讨论;错解三中出现逻辑性错误,运
11、算变形的顺序出现了问题,即开始默认了a1对原不等式进行了转化是不正确的,虽然后来对a又进行了讨论,看起来结果正确,而实际上解答过程是错误的.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,防范措施1.在解决含有对数式的方程或不等式时,一定要注意底数及真数的限制条件,一般要有检验的意识. 2.当对数的底数含参数时,不能直接化简原式,需要对参数进行分类讨论,做到不重复、不遗漏.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,1,2,3,4,5,1.设0a1. 答案:B,1,2,3,4,5,2.方程log2(x+2)=x2的实数解有( ) A.0个 B.1个 C.2
12、个 D.3个 解析:在同一平面直角坐标系中分别画出y=log2(x+2)与y=x2的图象,如图所示.由图象观察知,二者有两个交点,所以方程log2(x+2)=x2有两个解. 答案:C,1,2,3,4,5,3.函数f(x)=log2(3x2-2x-1)的单调增区间为 .,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0a1. (1)求函数f(x)的定义域D; (2)求函数f(x)的值域.,解得-3x1. 函数f(x)的定义域D为(-3,1). (2)f(x)=loga(1-x)(x+3) =loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4. -3x1, 0-(x+1)2+44. 0a1,loga-(x+1)2+4loga4, 即f(x)min=loga4. 函数f(x)的值域为loga4,+).,
