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1、客机水面迫降最佳姿态摘 要在第一阶段对客机在平静水面安全迫降的数值分析的基础上，进一步讨论飞机在有风浪的情况下的迫降情况。客机是否迫降成功主要取决于飞机能否承受水对飞机底面产生的应力和飞机迫降时的加速度是否超过人所能承受的加速度的极限值。通过对飞机迫降时与海浪波峰、波谷之间的倾角以及迫降时的加速度分析，建立了机头和机尾接触海浪波峰和波谷几种不同模型。综合运用受力分析，运动状态变化分析，压强分析，数学积分等方法来解决问题。飞机的水面降落是一个动态过程，包括了计算区域的整体运动和飞机撞击水面后气-液界面的动态变化。为了能够准确描述飞机水面降落的过程，文中采用了VOF方法。VOF方法主要用于捕述气-
2、液界面的运动变化。不同于阶段一，由于考虑到风浪的影响，阶段二进一步增加分析了着水前的运行状态。对于模型的求解，我们利用matlab和mathtype软件，求出水面对飞机应力与飞机与水面的倾角的函数关系式。由于方程十分复杂，我们计算不同倾角时的应力最大值，由此判断飞机的最佳飞行姿态。更进一步，我们对此方案进行了改进。在实际情况下，飞机是以三维模型与水面相接触的，我们将建立的二维模型向实际推广，大致确定三维情况下比较合理的值。关 键 词：物理受力分析 VOF方法 最佳迫降姿态一、问题的重述2009 年 1 月 15 日下午（美国东部时间）， US Airways 所属第 1549 航班（空中客车
3、A320 客机）在起飞后不久在纽约哈德逊河紧急迫降。经及时救助，机上 155 人（其中包括两名机师和三名乘务人员）在飞机沉没之前全部获救。该起事故造成 78 人受伤，无人死亡。这架客机从纽约长岛拉瓜迪亚机场起飞约 90 秒后遭飞鸟撞击，导致两个发动机损坏。机长萨伦伯格凭借着出色的驾驶技术和冷静的判断使飞机迫降在哈德逊河河面。而飞机上的乘客在乘务员的指挥下，有秩序地逃出紧急舱门并全部获救。 第二阶段问题：问题： 在越洋飞行的航班中，曾有个别航班出现过由于重大故障或意外原因，被迫在海面迫降的情况。在有风浪的条件下，飞机在海面的迫降具有更大的难度和危险性。请你建立合理的数学模型，对客机在海面的迫降进
4、行分析，指出在有风浪的条件下，飞机以何种姿态和航向接触海面是相对安全的选择。二、模型的假设与符号说明2.1 模型假设（1）前面提到，飞机是否安全迫降，主要与飞机自身的结构强度和飞机迫降的姿势有关。因此，我们假设飞机自身的结构强度已经达到一个标准程度，即确定飞机自身能够承受的最大压强为一个定值（即临界值）。（2）经过分析，我们设定飞机在进入水中达到飞机的最大速度时，飞机所承受的压强最大。（3）飞机两翼与海平面的倾角相同，忽略左右两翼歪斜情况；（4）飞机可以任意合适的的倾角与海面相接触；（5）水面足够宽，能保证飞机从接触水面到停止过程中的滑行距离；（6）不考虑海上其他障碍物得影响，以及飞机接触水面
5、前一段过程飞机的飞行状态；（7）驾驶员驾驶状态正常，驾驶技术相当，飞机性能相当；（8）飞机上的乘客正常，所能承受的加速度极限值与正常人相同；（9）可以将整个飞机看作是一个长方体刚体，飞机与海浪相接触是以底面相接触的；（10）飞机与海面接触过程中，不考虑水向周围扩张，把水看成是可压缩的弹性物质；（11）飞机从于海面接触到停止整个过程都未完全没入水中；。（12）飞机与海面接触过程中不考虑风对飞机的作用力。（13）假设海浪以一定的速度沿着一定方向传播。2.2 符号说明符号符号说明符号符号说明h波浪高度波动态传播速度L机身长度飞机最大横截面的直径飞机与水平面的夹角飞机能承受的最大压强空气阻力水的阻力空
6、气密度水的密度空气阻力系数水的阻力系数飞机相对水平方向面积飞机相对垂直方向面积飞机相对水平方向的速度飞机相对垂直方向的速度m飞机的质量g重力加速度飞机从失去动力到接触水面时用的时间飞机失去动力时的高度飞机到达零界条件时的速度h飞机到达零界条件时下沉的高度飞机到达零界条件时与水的接触面积P飞机在水中受到的压强飞机落入水中的高度与速度的比例系数飞机在水中受到的浮力三、问题的分析 因为海浪是以一定的速度定向移动的，飞机在降落的过程中，海浪也在做相应的运动，我们把海浪看成波动的形式沿着定向移动。所以这里我们不能还像第一阶段那样仅考虑飞机和水面直接接触的情况，我们考虑飞机在与波面接触前一段时间的飞行状况
7、，确定飞机从降落到和波面接触的时间t和此时的速度分量与倾角。飞机在有风浪的海面上上进行迫降，决定是否安全着陆的最关键在于：飞机的迫降姿势和飞机自身的结构强度。然而，飞机的结构强度在机身设计时已经到达一个标准水平（即飞机的结构强度一定），在这样的情况下，我们需要解决的就是：（1） 飞机在空中降落的整个过程中的速度是怎么样变化的？（2） 风浪对飞机的迫降起到什么样的作用？（3） 飞机迫降河面瞬间机身与水平面的夹角为何值是飞机能安全迫降？（4） 飞机进入水面时受到压强在何种条件下符合安全范围？飞机水面迫降简化模型对于问题（1），我们利用力学知识对飞机突然失去动力以一定初速度迫降时的运动状态进行物理受
8、力分析。得出飞机与波面接触时的速度分量，和倾角。对于问题（2），风力主要起到推动海浪运行的作用，波浪的运动，包含了风力转化成波运动的波能量的过程。主要利用公式和求波面对机身的作用力。对于问题（3）、（4），利用VOF基本原理通过研究网格单元中流体和网格体积比函数F来确定自由面，追踪流体的变化，而非追踪自由液面上质点的运动。该方法根据体积比函数来构造和追踪自由面。其中，把机身看成一个长方体刚体，考虑飞机机身底部与海浪的波峰和波谷接触两种情况，分别求出接触时候的倾角。由于飞机是以很高的速度与波面相接触，必然在接触的极短时间内受到水面对它很大的冲力，又有波面对机身的正面冲击力，这极大的加大了飞机迫降
9、的危险性。因此，我们依然和第一阶段一样假设飞机与水面接触时水面由于惯性不会向四周扩散。同时，我们把水面看成弹性物质，把飞机看成一长方形刚体，飞机与水面接触时水会向下被压缩，此时水会产生体积形变，我们利用体变公式计算水发生体变时的压强变化量，然后利用压强公式通过数学积分方法计算水对飞机的反冲力。之后，我们利用平均压强公式求解飞机没入水内部分的平均压力，再对压力求最大值。此值即是飞机在飞行速度一定，与水面倾角为时，飞机没入所受的最大压强。此值将是我们初步确定的飞机与水面接触时的最佳飞行姿态。对于模型所得到的结果，我们最终由通过各种途径搜集到得各种实际情况来对所求的值进行检验与修订，以弥补该模型的缺
10、陷与不足。四、模型的建立 为解决前面提出的几个问题，我们把飞机的整个迫降过程分阶段来考虑，分别是飞机与波面接触前，与波面接触瞬间和飞机与波浪接触后3个阶段。阶段一：飞机空中飞行时的速度变化模型。 飞机在突发情况下失去动力，将其视为圆柱体且其运动为速度不均匀变化的抛体运动，利用一阶线性常微分方程表示变化的加速度（速度对时间的微分），从而得出飞机在不同时刻的速度，并且根据下落高度利用定积分表示下落的时间，进而确定在接触水面瞬间的速度和从下落到接触水面的时间。阶段二：飞机在接触水面瞬间的夹角及其相关变量的变化情况以及预测。 飞机在接受水面的瞬间，其夹角时确定的，但是接触水面之后，飞机受力情况瞬间发生
11、改变，利用matlab软件作图可预测飞机进入水面后的速度，压强的变化情况。 阶段三：飞机进入水面后，受到水的浮力和摩擦力的强烈作用，在达到速度最大值的瞬间，机身受到的压强最大，通过飞机结构强度所能忍耐压强的最大值应用能量守恒和动能定理以及受力平衡和变量取极限的方法来定出飞机着陆水面的相对最佳夹角。另外，在考虑第一阶段的同时，我们还应考虑风势与波浪移动的关系来定向研究飞机迫降的速度和倾角。 五、模型的求解5.1波浪传播数值模型的求解1. 海浪运动机理海浪要素图水质点近似于圆形的轨道作圆周运动，运动半径随水深的增加而减小：影响海浪的因素有很多，我们主要考虑风力对海浪运动的影响。风以法向压力形式给波
12、浪传递能量，其简化模型如下图：从而完成了风力到波动能量的转换。2.波动机理我们知道，波的传播过程即是能量的传递过程。为了精确地描述波能量的分布，我们引入波的能量密度，即单位体积介质中的波动能量，用表示，有单位时间内垂直通过某一面积的能量，叫做通过该面积的能流，有其中表示能流，表示波速，表示垂直于波速的面积。取时间平均值，得到平均能流（见下图）用表示能流密度，有显然能流密度越大，单位时间垂直通过单位面积的能量越多波动就越强烈。所以波面对飞机的作用力5.2飞机迫降过程模型求解【1】飞机迫降第一阶段模型求解。（目的：求出飞机在接触水面时水平和竖直方向的速度）大型客机在空中飞行时突发状况失去动力，飞行
13、员不得不采取措施准备紧急迫降。当飞机在空中突然失去动力后，发动机熄火，使得飞机做抛体运动。在这种情况下，飞机的运动轨迹看成是一条连续的光滑曲线，则： 首先，我们对飞机的受力情况进行分析，（如图）mg根据图形可以看出，阻力是阻止飞机下落时速度增加的最重要的因素，而速度方向是与阻力方向相反的，我们将速度同样分为水平和竖直两个方向。由于随着速度的增大，阻力也在增大。因为它的运动轨迹是连续的，所以用常微分方程可列得： 飞机在任意时刻水平方向上都有： .(1) 飞机在任意时刻水平方向上都有： .(2)这里我们 这里的、作为阻力关于速度的比例系数。 .（3）应用matlab程序联立三个方程式可求得和 。下
14、列为程序段:：将t=0的情况（即飞机失去动力的瞬间）带入上式结果可得：C1=0,C2=1/,;所以由第（1）、（2）式和C1、C2可得关系式： (4)又由于时间t是和飞机失去动力时的高度h有下列式子的关系的，因而： .(5)通过关系式，我们可以得到竖直方向速度和时间t的而为左边图像：其中我们令（其中为接触水面瞬间飞机的和速度）。分析总结：这里曲线和坐标轴x所围成的图形面积就是高度 。这样，经过解常微分方程和应用matlab软件，我们已经成功计算出飞机在接触水面之前的运动情况，得出了在任意时刻的竖直速度和水平速度的的量和，同时通过定积分得出了时间和高度的关系。通过数值方向速度的变化情况，我们也可看出飞机在竖直方向上是做加速度减少的加速运动。因而，这也为第二阶段的模型奠定了基础。【2】飞机迫降第二、三阶段模型求解。（目的：根据飞机接触水面瞬间的受力情况，判定飞机从这刻起进入水面后的水平和竖直速度变化情况以及能量变化规律）VOF方法：VOF方法的基本原理是通过研究网格单元中流体和网格体积比函数F来确定自由面，追踪流体的变化，而非追踪自由液面上质点的运动
