概率论与数理统计第二版谢永钦主编课后习题答案资料

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1、1概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题 一一一一1 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有 2 个发生；（8）A，B，C至少有 2 个发生.【解】【解】（1）A（2）AB（3）ABCBCC（4）ABC=CBABCACABABC=ABACBCABCABC(5)=(6)ABCABCABC(7)BCACABCAB=ABCABBCA

2、CABCABCABC(8)ABBCCA=ABACBCABCCBA3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（）.AB【解】【解】P（）=1P（AB）=1P(A)P(AB)AB=10.70.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且P（A

3、B）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)2=+=141413112347. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】【解】p=5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率； （2）求五个人的生日都不在星期日的概率 ；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日

4、，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A1）=（）5（亦可用独立性求解，下同）51717（2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A2）=()5556767(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P(A1)=1()5179. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影部分所示.22301604P=22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于的概率；65（2） 两个数之积小于的概率.14【解】【解】设两数为x,y，则 0x,y1.（1）x+y.6511 4 4172 5 5

5、10.68125p= =(2)xy=(3)12(1)!13!(2)!;,3!nnppnnnn=38. 将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】【解】 设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由0xa,0ya,0axy+ +构成的图形，即02022axayaxya+正正（甲乙 ）=（甲反1+乙反）=（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Surething） ：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，则P（A）CCP(B).【证】【证】由P（A|C）P(B|C),得()(),( )( )P A

6、CP BCP CP C即有()()P ACP BC同理由(|)(|),P A CP B C得()(),P ACP BC故( )()()()()( )P AP ACP ACP BCP BCP B=+=47.一列火车共有n节车厢， 有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】【解】设Ai=第i节车厢是空的， （i=1,n）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)nkkikkijkiiinP AnnP A AnnP A AAn=其中i1,i2,in1是 1，2，n中的任n1 个.显然n节车厢全空的概率是零，于是1321121111221111111

7、23111()(1)C (1)2() C (1)1() C(1)0()( 1)nnnkkinikijnij nnkniiiniiinnnniniSP AnnnSP A AnnSP A AAnSPASSSS= 0.试证明：不论0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为 1.【证】【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1 (1)1()nn49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知( ), ( )mn

8、P BP Bmnmn=+1(|), (|)12rP A BP A B=则由贝叶斯公式知()( ) (|)(|)( )( ) (|)( ) (|)P ABP B P A BP B AP AP B P A BP B P A B=+121212rrrmmmnmnmnmnmn+=+iii50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？14【解】【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已

9、空 ，121()()2P BP B=另一盒恰剩r根，说明已取了 2nr次，设n次取自B1盒（已空） ，nr次取自B2盒，第 2nr+1 次拿起B1，发现已空。把取 2nr次火柴视作 2nr重贝努里试验，则所求概率为12211112C( ) ( )C2222nnn rnn rn rr rp=i式中 2 反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前 2nr1 次取火柴，有n1 次取自B1盒，nr次取自B2盒，第 2nr次取自B1盒，故概率为111212212111112C( )( )C( )2222nnn rnn rn rn rp =51. 求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.

10、【解】【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由00112220()CCCC1nnnnnnnnnnqpp qpqp qp q+=+=0011222n0()CCC( 1) Cnnnnnnnnnnqpp qpqp qp q=+ 以上两式相减得所求概率为113331CCnnnnppqp q=+11 () 2nqp=11 (12 ) 2np=若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.211(12 ) 2npp=+52.设A，B是任意两个随机事件，求P（+B） （A+B） （+） （A+）的值.AABB【解】【解】因为（AB）（）=ABABBA（B）（A）=ABABAB所求()

11、()()()AB AB AB AB+()()ABABABAB=+=故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】【解】由()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+15293 ( )3 ( )16P AP A=故或,按题设P（A）,故P（A）=.1( )4P A=34121454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】【解】1()()1()9P

12、ABP ABP AB= =()()P ABP AB=故( )()( )()P AP ABP BP AB=故( )( )P AP B=由A,B的独立性，及、式有11( )( )( ) ( )9P AP BP A P B= +212 ( ) ( )P AP A= +21( )P A=故11( )3P A= 故或（舍去）2( )3P A=4( )3P A=即P（A）=.2355.随机地向半圆 0y0,P(A|B)=1,试比较P(AB)与P(A)的大小. (2006 研考)解：解：因为()( )( )()P ABP AP BP AB=+()( )()( )P ABP BP A BP B=所以.()(

13、)( )( )( )P ABP AP BP BP A=+=1习题二习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以X表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】【解】353524353,4,51(3)0.1C3(4)0.3CC(5)0.6CXP XP XP X=故所求分布律为2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3).133, 1, 1, 12222P XPXPXPX【解】【解】3133151221331

14、51133150,1,2.C22(0).C35C C12(1).C35C1(2).C35XP XP XP X=故 X 的分布律为（2） 当x0 时，F（x）=P（Xx）=0当 0x1 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=2235X345P0.10.30.6X012P223512351352当 1x2 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=3435当x2 时，F（x）=P（Xx）=1故X的分布函数0,022,0135( )34,12351,2xxF xxx=(3)1122()( ),2235333434(1)( )(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(

15、12)(2)(1)(2)10.3535P XFPXFFPXP XPXPXFFP X=+= =3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8) 0.20.384(3)(0.8)0.512P XP XP XP X=故 X 的分布律为分布函数0,00.008,01( )0.104,120.488,231,3xxF xxxx=+=+=+(2,1

16、)(3,1)(3,2)P XYP XYP XY=+=+=12322333C 0.6(0.4) (0.3)C (0.6) 0.4(0.3)=+33221233(0.6) (0.3)C (0.6) 0.4C 0.7(0.3)+31232233(0.6) C 0.7(0.3)(0.6) C (0.7) 0.3+=0.2436.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各4飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】【解】设X为某一时刻需立即降落的

17、飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有()0.01P XN即2002002001C(0.02) (0.98)0.01kkkk N=+利用泊松近似200 0.024.np=41e 4()0.01!kk NP XNk=+查表得N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过， 问出事故的次数不小于 2的概率是多少 （利用泊松定理）？【解】【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001）(2)1(0)(1)P XP XP X= =0.10.11

18、e0.1 e= 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】【解】设在每次试验中成功的概率为p，则1422355C(1)C(1)pppp=故13p=所以.4451210(4)C ( )33243P X=9.设事件A在每一次试验中发生的概率为 0.3，当A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】【解】（1） 设X表示 5 次独立试验中A发生的次数，则X6（5，0.3）5553(3)C (0.3) (0.7)0.16308kkkkP X=(

19、2) 令Y表示 7 次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0.3）7773(3)C (0.3) (0.7)0.35293kkkkP Y=10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分5布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】【解】（1）(2)32(0)eP X=52(1)1(0)1 eP XP X= = 11.设PX=k=,k=0,1,2kkkpp22)1 (C C C CPY=m=,m=0,1,2,3,4mmm

20、pp44)1 (C C C C分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，试求PY1.59【解】【解】因为，故.5(1)9P X=4(1)9P X=而2(1)(0)(1)P XP Xp= 由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有5140e 5(15)10.000069!kkP Xk= (2)P(保险公司获利不少于 10000)(30000200010000)(10)PXP X=5100e 50.986305!kkk=即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上P（保险公司获利不少于 20000）(30000200020000)(5)PXP X=550e 50.6159

21、61!kkk=即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae|x|,x+,求： （1）A值； （2）P0X1;(3)F(x).【解】【解】（1） 由得( )d1f xx=| |01ed2e d2xxAxAxA=故.12A=(2)11011(01)e d(1 e )22xpXx=(3) 当x0 时，11( )e de22xxxF xx=当x0 时，0| |0111( )ede de d222xxxxxF xxxx=+11e2x= 7故1e ,02( )11e02xxxF xx=16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数

22、为f(x)=(2)12231 24C( )3 39p=(3) 当x100 时F（x）=0当x100 时( )( )dxF xf tt=100100( )d( )dxf ttf tt=+2100100100d1xttx= 故1001,100( )0,0xF xxx=17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】【解】由题意知X0,a，密度函数为1,0( )0,xaf xa=其他故当xa时，F（x）=1即分布函数80,0( ),01,xxF xxaaxa18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对

23、X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】【解】XU2,5，即1,25( )30,xf x=其他5312(3)d33P Xx=故所求概率为22333321220C ( )C ( )33327p=+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计） 服从指数分布.某顾客在窗口1( )5E等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】【解】依题意知，即其密度函数为1( )5XE51e,0( )50,xxf x=x0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e de5

24、xP Xx=,即其分布律为2 (5,e )Yb22 552 5()C (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1 (1 e )0.5167kkkP YkkP YP Y= = =20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102） ，则406040(60)(2)0

25、.977271010xP XP=9若走第二条路，XN（50，42） ，则+506050(60)(2.5)0.993844XP XP=故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102） ，则404540(45)(0.5)0.69151010XP XP=若XN（50，42） ，则504550(45)( 1.25)44XP XP=1(1.25)0.1056= =故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22） ，（1） 求P2X5，P4X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】【解】（1）23353(25)222XPXP=11(1)(1) 1220.8413

26、10.69150.5328= += +=433103( 410)222XPXP =+= =-(2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在 10.050.12 内为合格品,10求一螺栓为不合格品的概率.【解】【解】10.050.12(|10.05| 0.12)0.060.06XPXP=1(2)( 2)21(2)0.0456= +=23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2） ，若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】【解】120 160160200 160(120200)XPXP= = =(3)e,0( )(

27、)0,0xxf xF xx=25.设随机变量X的概率密度为f（x）=., 0, 21,2, 10, xxxx求X的分布函数F（x） ，并画出f（x）及F（x）.【解】【解】当x0 时F（x）=0当 0x1 时00( )( )d( )d( )dxxF xf ttf ttf tt=+1120d2xxt t=当 1x2 时( )( )dxF xf tt=010110122( )d( )d( )dd(2)d132222212xxf ttf ttf ttt tttxxxx=+=+=+= +当x2 时( )( )d1xF xf tt=故220,0,012( )21,1221,2xxxF xxxxx=+0;

28、(2)f(x)=当x0 时1( )( )de de22xxxxF xf xxx=当x0 时00( )( )de ded22xxxxF xf xxxx=+11e2x= 12故其分布函数11e,02( )1e ,02xxxF xx=(2) 由12201111( )ddd22bf xxbx xxx=+=+得b=1即X的密度函数为2,011( ),120,xxf xxx=其他当x0 时F（x）=0当 0x1 时00( )( )d( )d( )dxxF xf xxf xxf xx=+20d2xxx x=当 1x2 时012011( )( )d0dddxxF xf xxxx xxx=+312x=当x2 时

29、F（x）=1故其分布函数为20,0,012( )31,1221,2xxxF xxxx=即1()0.01z=即()0.09z=13故2.33z=（2） 由得()0.003P Xz=1()0.003z=即()0.997z=查表得2.75z=由得/2()0.0015P Xz=/21()0.0015z=即/2()0.9985z=查表得/22.96z=28.设随机变量X的分布律为求Y=X2的分布律.【解】【解】Y可取的值为 0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P YP XP YP XP XP YP XP YP X= +=+= =故Y的分布律

30、为29.设PX=k=()k,k=1,2,令121,1,.XYX=当 取偶数时当 取奇数时求随机变量X的函数Y的分布律.【解】【解】(1)(2)(4)(2 )P YP XP XP Xk=+=+=+X21013Pk1/51/61/51/1511/30Y0149Pk1/57/301/511/3014242111( )( )( )222111( )/(1)443k=+=2(1)1(1)3P YP Y= = =30.设XN（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1 的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】【解】（1） 当y0 时，( )()0YFyP Yy=当y0 时，(

31、)()(e)(ln )xYFyP YyPyP Xy=ln( )dyXfxx=故2/2lnd( )111( )(ln )e,0d2yYYxFyfyfyyyyy=(2)2(211)1P YX=+ =当y1 时( )()0YFyP Yy=当y1 时2( )()(21)YFyP YyPXy=+ 2111222yyyP XPX=(1)/2(1)/2( )dyXyfxx=故d1211( )( )d4122YYXXyyfyFyffyy=+(1)/4121e,1212yyy=(3)(0)1P Y=当y0 时( )()0YFyP Yy=当y0 时( )(|)()YFyPXyPyXy=15( )dyXyfxx=故

32、d( )( )( )()dYYXXfyFyfyfyy=+2/22e,02yy=31.设随机变量XU（0,1） ，试求：（1）Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】【解】（1）(01)1PX=故(1ee)1XPY=当时1y( )()0YFyP Yy=当 1ye 时( )(e)(ln )XYFyPyP Xy=ln0dlnyxy=当ye 时( )(e)1XYFyPy=即分布函数0,1( )ln ,1e1,eYyFyyyy=故Y的密度函数为11e,( )0,Yyyfy=其他（2） 由P（0X=当z0 时，( )()0ZFzP Zz=当z0 时，( )()( 2ln

33、)ZFzP ZzPXz=/2(ln)(e)2zzPXP X= =/21/2ed1 ezzx= 16即分布函数- /20,0( )1-e,ZzzFzz=0故Z的密度函数为/21e,0( )20,zZzfzz=032.设随机变量X的密度函数为f(x)=22,0,0,.xx其他试求Y=sinX的密度函数.【解】【解】(01)1PY=当y0 时，( )()0YFyP Yy=当 0y1 时，( )()(sin)YFyP YyPXy=(0arcsin )(arcsin)PXyPyX=+arcsin220 arcsin22ddyyxxxx=+222211arcsin1arcsinyy=+ -（）（）2arc

34、siny=当y1 时，( )1YFy=故Y的密度函数为221,01( )10,Yyfyy=i其他33.设随机变量 X 的分布函数如下：+=.) 3(,)2(,) 1 (,11)(2xxxxF试填上(1),(2),(3)项.【解】【解】由知填 1。lim( )1xF x=17由右连续性知，故为 0。+00lim( )()1xxF xF x=00x=从而亦为 0。即21,0( )11,0xF xxx=+34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】【解】设Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。 （i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C=每次16抛掷出

35、现 6 点。则121212( )()()()() ()P CP AAP AP AP A P A=+111111666636=+=故抛掷次数X服从参数为的几何分布。113635.随机数字序列要多长才能使数字 0 至少出现一次的概率不小于 0.9?【解】【解】令X为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,0.1)00(1)1(0)1 C (0.1) (0.9)0.9nnP XP X= = 即(0.9)0.1n得n22即随机数字序列至少要有 22 个数字。36.已知F（x）=+.21, 1,210,21, 0, 0xxxx则F（x）是（）随机变量的分布函数.（A） 连续型；（B）离

36、散型；（C） 非连续亦非离散型.【解】【解】因为F（x）在（,+）上单调不减右连续，且lim( )0xF x=,所以F（x）是一个分布函数。lim( )1xF x+=但是F（x）在x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b18等于（）(A)0,/2;(B)0,;(C)/2,0;(D)0,. 23【解】【解】在上 sinx0，且.故f(x)是密度函数。0,2/20sin d1x x=在上.故f(x)不是密度函数。0,0sin d21x x=

37、在上，故f(x)不是密度函数。,02sin0x在上，当时，sinx0，f(x)也不是密度函数。30,232x故选（A） 。38.设随机变量XN（0，2） ，问：当取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？【解】【解】因为213(0,), (13)()XXNPXP=31()()( )g = 令利用微积分中求极值的方法，有223311( )()()()g = +22229/21/2221/28/223111ee221e1 3e 02= +=令得,则204ln3=02ln3=又0()0g 故为极大值点且惟一。02ln3=由于P（X0）=1，故 01e2X1，即P（0Y1）=1当y0 时，FY（y）=

38、0当y1 时，FY（y）=1当 0y1 时，2( )()(e1)xYFyP YyPy= 1ln(1)2201(ln(1)22edyxP Xyxy= =即Y的密度函数为1,01( )0,Yyfy=其他即YU（0，1）41.设随机变量X的密度函数为20f(x)=., 0, 63,92, 10,31其他xx若k使得PXk=2/3，求k的取值范围.(2000 研考)【解】【解】由P（Xk）=知P（Xk）=2313若k0,P(Xk)=0若 0k1,P(Xk)=011d333kkx=当k=1 时P（Xk）=13若 1k3 时P（Xk）=10111d0d33kxx+=若 3k6，则P（X6,则P（Xk）=1

39、故只有当 1k3 时满足P（Xk）=.2342.设随机变量X的分布函数为F(x)=. 3, 1, 31, 8 . 0, 11, 4 . 0, 1, 0xxxx求X的概率分布.（1991 研考）【解】【解】由离散型随机变量 X 分布律与分布函数之间的关系，可知 X 的概率分布为43.设三次独立试验中， 事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为 19/27， 求A在一次试验中出现的概率.【解】【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1p）3=1927827故p=1344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+

40、Xy+1=0 有实根的概率是多少？【解】【解】X113P0.40.40.2211,16( )50,xf x=其他24(40)(2)(2)(2)5P XP XP XP X=+ =45.若随机变量XN（2，2） ，且P2X4=0.3，则PX0=.【解】【解】222420.3(24)()XPXP=22()(0)()0.5= = 故2()0.8=因此2022(0)()()XP XP= =由全概率公式有31( )() (|)0.0642iiiP BP A P B A=由贝叶斯公式有222() (|)(|)0.009( )P A P B AP ABP B=49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，

41、试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).23【解】【解】1,12( )0,Xxfx=其他因为P（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1当ye2时FY（y）=P(Yy)=0.当 e2ye4时，2( )()(e)XYFyP YyPy=1(1ln )2PXy=1ln211dln12yxy=当ye4时，( )()1YFyP Yy=即22440,e1( )ln1,ee21,eYyFyyyy=故241,ee2( )0,Yyyfy=其他50.设随机变量X的密度函数为fX(x)=1 时，( )()(e)(ln )XYFyP YyPyP Xy=ln01e d1yxxy= 即11,1( )0,1YyyFyy=故

42、21,1( )0,1Yyyfyy=2451.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,)1 (12x+ 求Y=1的密度函数fY(y).3x【解】【解】33( )()(1)(1) )YFyP YyPXyP Xy=332(1)(1)311darctg(1)1 arctg(1) 2yyxxxy=+=故263(1)( )1(1)Yyfyy=+52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为t的泊松分布.（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率Q.（1993研考）【解】【解】（1） 当tt与N(t)=

43、0等价，有( )()1()1( )0)1 etTF tP TtP TtP N t= = = 即1 e,0( )0,0tTtF tt =53.设随机变量X的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出现的条件下，X在1，1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=PXx.(1997 研考)【解】【解】显然当x1 时F（x）=0；而x1 时F（x）=1由题知115( 11)1848PX = =当1x1 时，1(| 11)2xP XxX+ =此时( )()F xP Xx=25(, 11)(,1)(,1)(, 11)(,1)(| 11) ( 1

44、1)(1)1 5151(1)288168P XXP Xx XP Xx XP XxXP Xx xP XxXPXP Xxx= += += += = += +=+=+i当x=1 时，1( )()(1)8F xP XxP X= =故X的分布函数0,151( )(1),-1x11681,1xF xxx =+54. 设随机变量X服从正态分N（1,12),Y 服从正态分布N(2,22)，且P|X-1|P|Y-2|1，试比较1与2的大小.(2006 研考)解：解：依题意，则11(0,1)XN22(0,1)YN，111111XP XP=.222211YP YP=因为，即1211P XP Y，11112211XY

45、PP121习题三习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表：3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=., 020 ,20,sinsin其他 yxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.36,40 yx【解】【解】如图 0,(3.2)4 63PXY+., 0, 0

46、, 0,)43(其他yxAyxe e e e求： （1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X1，0Y= 其他(3)01,02PXY12(34 )380001,0212ed d(1 e )(1 e )0.9499.xyPXYx y+= 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=., 0, 42, 20),6(其他yxyxk（1） 确定常数 k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.【解】【解】（1） 由性质有32402( , )d d(6)d d81,f x yx ykxyy xk+= 故18R=（2）131,3( , )d dP X

47、Yf x yy x= 130213(6)d d88kxyy x= (3)11.51.5( , )d da( , )d dxDP Xf x yx yf x yx y., 0, 0,55其他yye e e e求： （1）X与Y的联合分布密度； （2）PYX.题 6 图【解】【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为1,00.2,( )0.20,.Xxfx=其他所以( , ),( )( )XYf x y X Yfxfyi独立5515e25e,00.20,0.20,0,yyxy=且其他.(2)5()( , )d d25ed dyy xDP YXf x yx yx y=如图

48、0.20.2-55000-1d25ed( 5e5)d=e0.3679.xyxxyx=+7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=., 0, 0, 0),1)(1 (24其他yxyxe e e ee e e e求（X，Y）的联合分布密度.【解】【解】(42 )28e,0,0,( , )( , )0,xyxyF x yf x yx y+= 其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=4.8 (2),01, 0,0,.yxxyx其他求边缘概率密度.【解】【解】( )( , )dXfxf x yy+=x204.8 (2)d2.4(2),01,=0,.0,yxyxxx=其

49、他( )( , )dYfyf x yx+=12y4.8 (2)d2.4 (34),01,=0,.0,yxxyyyy+=其他5题 8 图题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=其他( )( , )dYfyf x yx+=0e de ,0,=0,.0,yyxxyy=其他题 10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=., 0, 1,22 yxycx（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度.【解】【解】（1）( , )d d( , )d dDf x yx yf x yx y+ 如图2112-14=dd1.21xxcx y yc=得.214c=(2)(

50、)( , )dXfxf x yy+=6212422121(1),11,d840,0,.xxxxx y y =其他( )( , )dYfyf x yx+=522217d,01,420,0, .yyx y xyy=其他11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=., 0, 10, 1 xxy求条件概率密度fYX（yx） ，fXY（xy）.题 11 图【解】【解】( )( , )dXfxf x yy+=1d2 ,01,0,.xxyxx=其他111d1,10,( )( , )d1d1,01,0,.yYyxyyfyf x yxxyy+= + = 其他所以|1,|1,( , )( | )2( )0

51、,.Y XXyxf x yfy xxfx=其他7|1, 1,1( , )1( | ),1,( )10,.X YYyxyf x yfx yyxfyy=., 0, 0,212/其他yye e e e（1）求X和Y的联合概率密度；（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】【解】（1） 因1,01,( )0,Xxfx=其他.故/21e01,0,( , ),( )( )20,.yXYxyf x y X Yfxfy=i独立其他题 14 图(2) 方程有实根的条件是220aXaY+=2(2)40XY =故X2Y，从而方程有实根的概率为：22( , )d dxyP XYf x

52、 yx y=21/2001ded212 (1)(0)0.1445.xyxy= =15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计） ，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为iP Xx=0.20.420.389f（x）=., 0,1000,10002其他xx求Z=X/Y的概率密度.【解】【解】如图,Z的分布函数( )ZXFzP ZzPzY=(1) 当z0 时，( )0ZFz=（2） 当 0z1 时， （这时当x=1000 时,y=）(如图 a)1000z3366102222101010( )d dddyzZzxyzFzx yyxx yx y+=33610231010=d2zzyy

53、zy+=题 15 图(3) 当z1 时， （这时当y=103时，x=103z） （如图b）3366222210101010( )d dddzyZxyzFzx yyxx yx y+=336231010101=d12yyzyz+= 即11,1,2( ),01,20,.Zzzzfzz=其他10故21,1,21( ),01,20,.Zzzfzz=其他16.设某种型号的电子管的寿命 （以小时计） 近似地服从N（160，202） 分布.随机地选取 4只 ，求其中没有一只寿命小于 180 的概率.【解】【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则XiN（160，202） ，从而123412min(,)

54、180180180iPXXXXXP XP Xi之间独立34180180P XP Xi12341180 1180 1180 1180P XP XP XP X=iii44144180 16011801201(1)(0.158)0.00063.P X=17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k） ，k=0，1，2，PY=r=q（r） ，r=0，1，2，.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=，i=0，1，2，.=ikkiqkp0)()(【证明】【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以ZiXYi=+=0,1,1,0XYiXYiXi Y= =于是0, ,ikP ZiP X

55、k Yik X Y= 相互独立0ikP Xk P Yik= i0( ) ()ikp k q ik=18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为 2n，p的二项分布.11【证明】【证明】方法一：X+Y可能取值为 0，1，2，2n.0,kiP XYkP Xi Yki=+=00202()2kikin ik in k iikkn kikn kP Xi P Ykinnp qpqikinnp qikinp qk= += = = =i方法二：设1,2,n;1,2,，n均服从两点分布（参数为p） ，则X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+

56、n,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.19.设随机变量（X，Y）的分布律为(1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】【解】（1）2,22|22P XYP XYP Y=502,20.051,0.252,2iP XYP Xi Y=3,03|00P YXP YXP X=300,30.011;0.0330,jP XYP XYj=（2）max(, ) ,P ViPX Yi P Xi YiP Xi Yi=+=0,1,2,3,i=于是(4)类似上述过程，有20.雷达的圆形屏幕半径为

57、R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1） 求PY0YX；（2） 设M=maxX，Y，求PM0.题 20 图【解】【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,( , )0,.xyRf x yR+=其他（1）0,0|P YYXP YYXP YX=0( , )d( , )dyy xy xf x yf x y=V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05132/40542/401dd1ddRRr r

58、Rr rR=3/83;1/24=(2)0max(, )01max(, )0P MPX YPX Y= 001310,01( , )d1.44xyP XYf x y= = = =21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为多少？题 21 图【解】【解】区域D的面积为（X,Y）的联合密度函数为22ee0111dln2.Sxxx=211,1e ,0,( , )20,.xyf x yx0)的泊松分布， 每位乘客在中途下车的概率为p（0p1） ，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途

59、下车的人数，求： （1）在发车1y2y3yiiP XxP=1x12418112142x18381434jjP Yyp=1612131YX15时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】【解】(1).|C(1),0,0,1,2,mmn mnP Ym Xnppmn n=(2),|P Xn YmP Xn P Ym Xn=ieC(1),0,1,2,.!mmn mnnppnmn nn=i24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为f(y)，7 . 03 . 021求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】【解】设F（y）是Y的分布

60、函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为( )0.3 |10.7 |2G uP XYuP XYu XP XYu X=+=+=+=0.3 1|10.7 2|2P YuXP YuX=+=由于X和Y独立，可见( )0.3 10.7 2G uP YuP Yu=+0.3 (1)0.7 (2).F uF u=+由此，得U的概率密度为( )( )0.3(1)0.7(2)g uG uF uF u=+0.3 (1)0.7 (2).f uf u=+25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1, 03,( )3

61、0, 0,3;xf xxx=1, 03,( )30, 0,3.yf yyy=因为X，Y相互独立，所以1, 03,03,( , )90, 0,0,3,3. xyf x yxyxy=推得.1max, 19PX Y=26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为16其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= 0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）PX=Z.解解(1)由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1即a+b+c= 0.4.由，可得()0.2E X= .0.1ac += 再由,0,00.1000.500.5P XYabP YXP Xa

62、b+=+得.0.3ab+=解以上关于a，b，c的三个方程得.0.2,0.1,0.1abc=(2)Z的可能取值为2，1，0，1，2，21,10.2P ZP XY= = = =，11,00,10.1P ZP XYP XY= = =+= =，01,10,01,10.3P ZP XYP XYP XY= =+=+= =，11,00,10.3P ZP XYP XY=+=，21,10.1P ZP XY=即Z的概率分布为(3).00.10.20.10.10.20.4P XZP Yb=+=+= 101 101a00.20.1b0.200.1cZ2 1012P0.20.10.30.30.1XY1习题四习题四1.设

63、随机变量X的分布律为求E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）.【解】【解】(1)11111()( 1)012;82842E X= + + + =(2)2222211115()( 1)012;82844E X= +=(3)1(23)2 ()32342EXE X+=+=+=2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为X，则X的分布律为故()0.583 00.340 10.070 20.007 30 40 5E X= + + + + + 0.501,=520()()iiiD XxE XP=222(00

64、.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)00.432.=+=3.设随机变量X的分布律为且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】【解】因,1231PPP+=又,12331()( 1)010.1E XPPPPP= +=ii222212313()( 1)010.9E XPPPPP= +=+=iii由联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP=4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少？X 1012P1/81/21/81/4X012345P5905100C0.583C=141090510

65、0C C0.340C=2310905100C C0.070C=3210905100C C0.007C=4110905100C C0C=5105100C0C=X 101Pp1p2p32【解】记A=从袋中任取 1 球为白球，则0( )|NkP AP A Xk P Xk=i全概率公式0011().NNkkkP XkkP XkNNnE XNN=i5.设随机变量X的概率密度为f（x）=., 0, 21,2, 10,其他xxxx求E（X） ，D（X）.【解】【解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx+=+213320111.33xxx=+=122232017()( )dd(2)d6E

66、 Xx f xxxxxxx+=+=故221()() ().6D XE XE X=6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ 4X.【解】【解】(1) (231)2 ()3 ( ) 1E UEXYE XE Y=+=+2 53 11 144.= + + =(2) 44 ()E VE YZXE YZE X=,( )( )4 ()Y ZE YE ZE Xi因独立11 84 568.= =7.设随机变量X，Y相互独立， 且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16， 求E（3X 2Y），D

67、（2X 3Y）.【解】【解】(1)(32 )3 ()2 ( )3 32 33.EXYE XE Y= =(2)22(23 )2()( 3)4 129 16192.DXYD XDY=+ =+ =8.设随机变量（X，Y）的概率密度为3f（x，y）=其他求E（XY）.【解】【解】方法一：先求X与Y的均值102()2 d,3E Xxx x=i5(5)500( )ed5e de d5 1 6.z yyzzE Yyyzzz+= =+=+ =令由X与Y的独立性，得2()()( )64.3E XYE XE Y=i方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为(5)2 e,01,5,( , )(

68、)( )0,yXYxxyf x yfxfy=i其他于是11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy+= ii10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=fY（y）=;0, 0, 0,22xxxe e e e. 0, 0, 0,44yyye e e e求（1）E（X+Y）;（2）E（2X 3Y2）.【解】【解】22-2000()( )d2edee dxxxXXxfxxxxxx+= i201ed.2xx+=401( )( )d4edy.4yYE Yyfyyy+=i22242021()( )d4ed.48yYE Yy fyyyy+=i从而(1)1

69、13()()( ).244E XYE XE Y+=+=+=4(2)22115(23)2 ()3 ()23288EXYE XE Y= =11.设随机变量X的概率密度为f（x）=. 0, 0, 0,414xxxe e e e为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100 元和 200 元X0123P0.7500.2040.0410.0055/41/4111001ede4xP YP Xx+=1/420011 e.P YP X=

70、= 故(元).1/41/41/4( )100 e( 200) (1 e)300e20033.64E Y=+ =14.设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，记，S2=.=niiSXnX12,1=niiXXn12)(11（1） 验证=，=；)(XE)(XDn2（2） 验证S2=；)(11122=niiXnXn（3） 验证E（S2）=2.【证】【证】(1)1111111()()().nnniiiiiiE XEXEXE Xnuunnnn=i22111111()()nnniiiiiiiD XDXDXXDXnnn=i之间相互独立2221.nnn=i(2)

71、 因222221111()(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX=+=+2222112nniiiiXnXX nXXnX=+=i故.22211()1niiSXnXn=(3) 因,故2(),()iiE Xu D X=2222()()().iiiE XD XEXu=+=+同理因,故.2(),()E Xu D Xn=222()E Xun=+从而6222221111()() ()()11nniiiiE sEXnXEXnE Xnn=221222221()()11().1niiE XnE Xnnununn=+=ii15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=

72、1,计算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】【解】Cov(321,43)3 () 10Cov(, )8 ( )XYXYD XX YD Y+=+3 2 10 ( 1)8 328= + = (因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=221,1,0,.xy+其他试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】【解】设.22( , )|1Dx yxy=+2211()( , )d dd dxyE Xxf x yx yx x y+= 21001=cosd d0.rr r= i同理E(Y)=0

73、.而Cov(, )( ) ( ) ( , )d dX YxE xyE Yf x yx y+= i,2221200111d dsincosd d0xyxy x yrr r+= 由此得,故X与Y不相关.0XY=下面讨论独立性，当|x|1 时，22121112( )d1.xXxfxyx=当|y|1 时，.22121112( )d1yYyfyxy=显然( )( )( , ).XYfxfyf x yi7故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分

74、布律如下表 101 1011/81/81/81/801/81/81/81/8X 101P382838Y 101P382838XY 101P284828由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知XY=0,即X与Y的相关系数为 0，从而X和Y是不相关的.又331111,1888P XP YP XY= = = = i从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0）， （0，1）， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 Cov（X，Y） ，XY.【解】【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为12题 18 图

75、XY82,( , ),( , )0,x yDf x y=其他.()( , )d dDE Xxf x yx y=11001d2d3xxxy=i22()( , )d dDE Xx f x yx y=112001d2d6xxxy=从而222111()() ().6318D XE XE X=同理11( ),( ).318E YD Y=而11001()( , )d d2d dd2d.12xDDE XYxyf x yx yxy x yxxy y=所以.1111Cov(, )()()( )123336X YE XYE XE Y= i从而1Cov(, )1362()( )111818XYX YD XD Y=

76、i19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1sin(),0, 0,2220.xyxy,+其他求协方差 Cov（X，Y）和相关系数XY.【解】【解】/2/2001()( , )d ddsin()d.24E Xxf x yx yxxxyy+=+= i22222001()dsin()d2.282E Xxxxyy=+=+i从而222()() ()2.162D XE XE X=+同理2( ),( )2.4162E YD Y=+9又/2/200()dsin()d d1,2E XYxxyxyx y=+=故24Cov(, )()()( )1.2444X YE XYE XE Y= i2222224Cov(,

77、 )(4)8164.832832()( )2162XYX YD XD Y+= = +i20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X 2Y和Z2=2X Y的相关4111系数.【解】【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而12()(2 )()4( )4Cov(, )14 44 113,()(2)4()( )4Cov(, )4 144 14,D ZD XYD XD YX YD ZDXYD XD YX Y=+= + =+= + =12Cov(,)Cov(2 ,2)Z ZXYXY=2Cov(,)4Cov( ,)Cov(, )2Cov( , )2()5Cov(

78、, )2( )2 1 5 12 45.X XY XX YY YD XX YD Y=+=+= + =故121212Cov(,)5513.26()()134Z ZZ ZD ZD Z=i21.对于两个随机变量V，W，若E（V2） ，E（W2）存在，证明：E（VW） 2E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy Schwarz）不等式.【证】【证】令2( ) ,.g tE VtWtR=+显然22220( )() 2g tE VtWE VtVWt W=+=+2222,.E Vt E VWtE WtR=+ ii可见此关于t的二次式非负，故其判别式0，即22202 ()4 ()()E VW

79、E WE V =i2224 ()()().E VWE VE W=i故222 ()()().E VWE VE Wi1022.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数=1/5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间XE(),E(X)=5.1依题意Y=min(X,2).对于y0,f(y)=PYy=0.对于y2,F(y)=P(Xy)=1.对于 0y.12, 5,1210,20,10, 1XXX若若若问：平均直径取何值

80、时，销售一个零件的平均利润最大？【解】【解】( )1020 1012 5 12E TP XPXP X= 1020 1012 5 12(10)20(12)(10)51(12)25 (12)21 (10)5.P XuuPuXuuP Xuuuuuuuu= = +=Z=k0123Pk12092092012011故2/2d ( )125 (12) ( 1)21 (10) ( 1)0( )e),d2xE Tuuxu= = 令 这里得22(12) /2(10) /225e21euu=两边取对数有2211ln25(12)ln21(10) .22uu=解得(毫米)125111ln11ln1.1910.91282

81、212u=由此可得，当u=10.9 毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为f(x)=., 0,0,2cos21其他 xx对X独立地重复观察 4 次，用Y表示观察值大于/3 的次数，求Y2的数学期望.（2002 研考）【解】【解】令1,3(1,2,3,4)0,3iXYi=X.则.因为41(4, )iiYYBp=及,133pP XP X= /3011cosd3222xP Xx=所以111( ),( ),( )42,242iiE YD YE Y=,2211( )41()()22D YE YEY= =从而222()( ) ( )125.E YD YE Y=+= +=26.两台同样的自动记

82、录仪， 每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为 5 的指数分布， 首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）.【解】【解】由题意知：55e,0,( )0,0titf tt=.因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t0 时，fT(t)=0;当t0 时，利用卷积公式得1255()5120( )( )()d5e5ed25 etxt xtTftf xf txxxt+=ii故得525 e,0,( )0,0.tTttftt=由于TiE(5),故知E(Ti)=,D(T

83、i)= (i=1,2)15125因此，有E(T)=E(T1+T2)=.25又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.22527.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1/2 的正态分布，求随机变量|X Y|的方差.【解】【解】设Z=X Y，由于22110,0,22XNYN且X和Y相互独立，故ZN（0，1）.因22()()(| ) (|)D XYD ZE ZE Z=22() ( ) ,E ZE Z=而22/21()( )1,(|)|ed2zE ZD ZE Zzz+=，2/2022ed2zzz+=所以.2(|)1DXY= 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p

84、(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）.【解】【解】记q=1 p,X的概率分布为PX=i=qi 1p,i=1,2,，故12111()().1(1)iiiiqpE Xiqppqpqqp=又221211121()()iiiiiiE Xi qpii qpiqp=+132232211()12112.(1)iiqpqqpqpqppqqpqppp=+=+=+=所以22222211()() ().ppD XE XE Xppp=题 29 图29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1）， （1，0）及（1，1）为

85、顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图） ，试求随机变量U=X+Y的方差.【解】【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY) E(X)E(Y).由条件知X和Y的联合密度为2,( , ),( , )0,0.x yGf x yt=,U,U1, 11, 1若若. 1, 11, 1U,U若若14试求（1）X和Y的联合概率分布； （2）D（X+Y）.【 解 】【 解 】（1）为求X和Y的联合概率分布， 就要计算 （X，Y） 的4 个可能取值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)及(1,1)的概率.Px= 1,Y= 1=PU 1,U1112dd

86、11444xxP U= =PX= 1,Y=1=PU 1,U1=P=0,PX=1,Y= 1=PU 1,U111d1 1144xPU= =故得X与Y的联合概率分布为.( 1, 1)( 1,1)(1, 1)(1,1)(, ) 1110424X Y (2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应22()() ()D XYE XYE XY+=+为,.202111424XY+204() 1122XY+从而11()( 2)20,44E XY+= + =211() 042,22E XY+=+ =所以22()() ()2.D XYE XYE XY+=+=31.设随机变量X的概率密度为f(x)=， （ x+）x

87、e e e e21(1) 求E（X）及D（X） ；（2） 求 Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？（3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？【解】(1)| |1()ed0.2xE Xxx+=i2| |201()(0)ed0e d2.2xxD Xxxxx+=i(2)Cov(,|)(|)()(|)(|)XXE XXE XEXE XX=iii| |1|ed0,2xx xx+=i所以X与|X|互不相关.15(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 x+中的子区间（0,+）上给出任意点x0，则有0000|.xXxXxXx=所以000|1.PXxP X

88、x故由00000,|P XxXxPXxPXxP Xx=i得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42） ，且X与Y的相关系数XY= 1/2，设Z=.23YX+（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z） ；（2） 求X与Z的相关系数XZ；（3） 问X与Z是否相互独立，为什么？【解】【解】(1)1( ).323XYE ZE=+=( )2Cov,3232XYX YD ZDD=+11119162Cov(, ),9432X Y= + 而1Cov(, )()( )3 462XYX YD XD Y= = i所以1( )1463.3D Z= + =(2) 因

89、()()11Cov(,)Cov,Cov,Cov,3232XYX ZXX XX Y=+=+119()( 6)3=0,323D X=+ =-所以Cov(,)0.()( )XZX ZD XD Z=i(3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也0XZ=1,3 ,(1,9)3ZNXN相互独立.33.将一枚硬币重复掷n次， 以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数.XY16【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,12从而有()( )4nD XnpqD Y=所以0()()( )2()( )XYD XYD XD YD XD

90、Y=+=+i故= 1.2,24XYnn=+iXY34.设随机变量X和Y的联合概率分布为试求X和Y的相关系数.【解】【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为所以E（XY）= 0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)=0.12 0.60.2=0从而=0XY35.对于任意两事件A和B，0P(A)1，0P(B)1,则称=为事件A和B的相关系数.试证：()()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP（1） 事件A和B独立的充分必要条件是=0；（2） |1.【证】【证】（1）由的定义知，=0 当且仅当P(AB) P(A)P(B)=0.而这

91、恰好是两事件A、B独立的定义，即=0 是A和B独立的充分必要条件.(2) 引入随机变量X与Y为1,0,AXA=若 发生若 发生;1,0,BYB=若 发生若 发生.由条件知，X和Y都服从 0 1 分布，即011( )( )XP AP A011( )( )YP BP B从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),ABCov(X,Y)=P(AB) P(A)P(B)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相 101010.070.180.150.080.320.20YX 101P0.080.720.2YX17关系数

92、的基本性质可得|1.36. 设随机变量X的概率密度为fX(x)=., 0, 20,41, 01,21其他xx令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3).1(,4)2F解解： (1)Y 的分布函数为.2( )YFyP YyP Xy=当y0 时，；( )0YFy=( )0Yfy=当 0y1 时，3( )004YFyPyXyPyXPXyy=+=；3( )8Yfyy=当 1y4 时，11( ) 10024YFyPXPXyy= +=+；1( )8Yfyy=当y4 时，.( )1YFy=( )0Yfy=故Y的概率密度为

93、3,01,81( )0,14,80,.Yyyfyyy =其他(2),0210111()( )ddd244+XE X =xfx xx xx x=+=-,02222210115( )()( )ddd)246+XE Y =E X=x fx xxxxx=+=-,02233310117()()( )ddd248+XE XY =E Y=x fx xxxxx=+=-18故Cov(X,Y) =.2()()( )3E XYE XE Y =-(3)2111(,4),4,4222FP XYP XX= = 11, 22 222P XXPX= = .11 124PX= =1习题五习题五1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总

94、和记为X.估计P10X18.【解】设表每次掷的点数，则iX41iiXX=22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666iiE XE X= + + + + + =+=从而22291735()() ().6212iiiD XE XE X=又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而44117()()()414,2iiiiE XEXE X=44113535()()()4.123iiiiD XDXD X=所以235/31018|14| 410.271,4PXPX=1000.3871(0.387)0.348,102012VP= =即有PV1050

95、.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？3【解】【解】设 100 根中有X根短于 3m，则XB（100，0.2）从而30 100 0.2301301100 0.2 0.8P XP X= = 1( 1.25)(1.25)0.8944.= = =(2)XB(100,0.7)，100175 100 0.7751751100 0.7 0.3iiPXP X= 51()1(1.09)0.1379.21= = =7. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任

96、取 1000 件，其中有20 件废品的概率.【解】【解】令 1000 件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故12050130206.8956.89547.547.5P X=61304.5 10 .6.8956.895=8. 设有 30 个电子器件.它们的使用寿命T1，T30服从参数=0.1单位： （小时）-1的指数4分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为 30 个器件使用的总计时间，求T超过 350 小时的概率.【解】【解】11( )10,0.1iE T=21( )100,iD T=( )10 303

97、00,E T=( )3000.D T=故3503005350111(0.913)0.1814.300030P T = = =9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）.【解】【解】设至少需 n 件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而即1306 80.95,niiPT=306 8 100.05.10nn 故102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn= =所以需 272a元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家

98、长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X超过 450 的概率？（2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率.【解】【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心极限定理得400iiXX=400400 1.1400 1.1(0,1).400 0.194 19iiXXN=近似地于是45

99、0400 1.1450145014 19P XP X= 1(1.147)0.1357.= =(2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则YB(400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得Xi012P0.050.80.155340400 0.8340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y = =11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】【解】用X表 10000 个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515） 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000.由中心极限定理有5000 10000 0.5155000( 3

100、)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X = = =12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）.令Sn=X1+X2+X1000.(1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求PmSn10000.95，事件9001000 0.9.1000 0.9 0.190nnSmmS=由中心极限定理知：1000 0.9110.95.1000 0.9 0.1nnmP mSP Sm= = 因此可从

101、解出n即最多可装 98 箱.1习题六习题六1.设总体XN（60，152） ，从总体X中抽取一个容量为 100 的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率.【解】【解】=60,2=152,n=100(0,1)/XZNn=即60(0,1)15/10XZN=(|60| 3)(| 30/15)1(| 2)PXP ZP Z= 21(2)2(1 0.9772)0.0456.=2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于 0.95，则样本容量n至少取多大？【解】【解】4(0,1)5/XZNn=2.24.26.24.2(2.26.

102、2)()55PXPnZn=1.96,nn即n24.01，所以n至少应取 253.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2） （单位：小时） ，随机抽取一容量为9 的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（1062）.X【解】【解】=1000,n=9，S2=10021000 (8)100/3/XXttSn=1062 1000(1062)()(1.86)0.05100/3P XP tP t=4.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本， 假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上，求总体的标准差.【解】【解

103、】，由P(|-|4)=0.02 得(0,1)/XZNn=X2P|Z|4(/n)=0.02,故,即4 102 10.02=4 100.99.=查表得4 102.33,=所以4 105.43.2.33=5.设总体XN（，16） ，X1，X2，X10是来自总体X的一个容量为 10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2a）=0.1，求a之值.【解】【解】2222299(9), ()0.1.1616SaP SaP=查表得914.684,16a=所以14.684 1626.105.9a=6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=，n5=niiiiXX

104、n62512) 15(服从何种分布？【解】【解】2522222211(5),(5)iniiiiXXXn=且与相互独立.1222所以2122/5(5,5)/5XYFnXn=7.求总体XN（20，3）的容量分别为 10，15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于 0.3的概率.【解】【解】令的容量为 10 的样本均值，为容量为 15 的样本均值,则N(20,310),XYXN(20,)，且与相互独立.Y315XY则330,(0,0.5),1015XYNN+=3那么(0,1),0.5XYZN=所以0.3(| 0.3)|21(0.424)0.5PXYPZ=2(1 0.6628)0.6744.=8.设

105、总体XN（0，2）,X1,X10,X15为总体的一个样本.则Y=()21521221121022212XXXXXX+服从分布,参数为.【解】【解】i=1,2,15.(0,1),iXN那么122210152222111(10),(5)iiiiXX=且与相互独立,1222所以222110122211152/10(10,5)2()/5XXXYFXXX+=+所以YF分布，参数为（10,5）.9.设总体XN（1,2）,总体YN(2,2),X1,X2,和Y1，Y2，分别来自总体X和Y1nX2nX的简单随机样本，则=.+=2)()(21121221nnYYXXEnjjnii【解】【解】令1222212111

106、211() ,(),11nniiijSXXSYYnn=则122222112211()(1),()(1),nnijijXXnSyynS=又2222221122112222(1)(1)(1),(1),nSnSnn=那么41222112222121212()()1()22nnijijXXYYEEnnnn =+=+i2221212221212 ()()2(1)(1)2EEnnnnnn=+=+=+10.设总体XN（,2） ，X1，X2，X2n（n2）是总体X的一个样本，令=niiXnX2121Y=，求EY.=+niiniXXX12)2(【解】【解】令Zi=Xi+Xn+i,i=1,2,n.则ZiN(2,2

107、2)(1in),且Z1,Z2,Zn相互独立.令2211, () /1,nniiiiZZSZZnn=则21111,222nniiiiXXZZnn=故2ZX=那么22211(2)()(1),nnin iiiiYXXXZZnS+=+=所以22( )(1)2(1).E YnESn=11. . . . 设总体X的概率密度为f(x)=(-x+),X1，X2，Xn为总体X的简单随机样xe e e e21本，其样本方差为S2，求E(S2).解：解：由题意，得1e , 0,2( )1e ,0,2xxxf xx=5于是22222220()()()()1()( )ded021()( )dede d2,2xxxE S

108、D XE XEXE Xxf xxxxE Xx f xxxxxx+=所以.2()2E S=1习题七习题七1.设总体X服从二项分布b（n，p） ，n已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】【解】因此np=1(),(),E Xnp E XAX=X所以p的矩估计量Xpn=2.设总体X的密度函数f（x,）=22(),0,0,.xx其他X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计.【解】【解】23022022()()d,233xxE Xxxx=令E(X)=A1=,因此=X3X所以的矩估计量为3.X=3.设总体X的密度函数为f（x，） ，X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.（

109、1）f（x，）=,0,0,0.e e e exxx（2）f（x，）=1,01,0,.xx其他【解】【解】（1） 似然函数111( , )ee eniiinnxxnniiiLf x=1lnlnniigLnx=由知1ddln0ddniigLnx=1niinx=所以的极大似然估计量为.1X=2(2) 似然函数,i=1,2,n.11,01nniiiLxx=0)，那么时，L=L()最大,18max iix =所以的极大似然估计值=0.9.因为 E()=E(),所以=不是的无偏计.18max iix 18max iix 6. 设X1，X2， ，Xn是取自 总体X的样本 ，E（X） =，D（X）=2，2=k

110、,问k为何值时为2的无偏估计.1211()niiiXX+=2【解】【解】令i=1,2,n-1,1,iiiYXX+=则21( )()()0,( )2,iiiiE YE XE XD Y+=于是1222211 ()(1)2(1) ,niiEE kYk nEYnk=那么当,即时,22()E =222(1)nk=有1.2(1)kn=7.设X1，X2是从正态总体N（，2）中抽取的样本112212312211311;334422XXXXXX=+=+=+试证都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.123, 【证明】【证明】（1）11212212121()()(),333333EEXXE XE X=+=+=+

111、=,21213()()()44EE XE X=+=31211()()(),22EE XE X=+=所以均是的无偏估计量.123, (2)22221122145()()(),3399DD XD XX=+=4222212135()()(),448DD XD X=+=()223121()()(),22DD XD X=+=8.某车间生产的螺钉，其直径XN（，2） ，由过去的经验知道2=0.06,今随机抽取 6 枚，测得其长度（单位 mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】【解】n=6,2=0.06,=1-0.95=0.05,0.2521

112、4.95,1.96,axuu=的置信度为 0.95 的置信区间为./2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)xun=9.总体XN(,2)，2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使的置信概率为 1-，且置信区间的长度不大于L？【解】【解】由2已知可知的置信度为 1-的置信区间为,/2xun于是置信区间长度为,/22uni那么由L,得n/22uni22/224()uL10.设某种砖头的抗压强度XN（，2） ， 今随机抽取20块砖头， 测得数据如下 （kgcm-2）：64694992559741848899846610098727487844881（1） 求的置信概率为 0.9

113、5 的置信区间.（2） 求2的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】【解】76.6,18.14,1 0.950.05,20,xsn= =/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907tntn=(1)的置信度为 0.95 的置信区间/218.14(1)76.62.093(68.11,85.089)20asxtnn=(2)的置信度为 0.95 的置信区间25222222/21/2(1)(1)1919,18.14 ,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907nsnsnn=11.设总体Xf(x)=(

114、1),01;10,.xx+ 其中其他X1,X2,Xn是X的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()( )d(1)d,2E Xxf xxxx+=+=+又1(),2XE X+=+故211XX=所以的矩估计量21.1XX=(2) 似然函数.11(1) 01(1,2, )( )( )0nnniiiiixxinLLf x=+=其他取对数11lnln(1)ln(01;1),dlnln0,d1niiiniiLnxxinLnx=+ =+=+所以的极大似然估计量为11.lnniinX= 12.设总体Xf(x)=36(),0;0,.xxxe e e e 其中(0)为未知参数， 又设x1,x

115、2,xn是总体X的一组样本观察值， 求的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e0;1,2, ;( )0lnln22(),;1,2, ,niixniniiixinLLLnxxin=其他.由dln20ln ( ) ,dLnL =知那么当01min ln ( )maxln ( )ii nxLL =时所以的极大似然估计量1min ii nx =14. 设总体X的概率分布为其中(0所以的极大似然估计值为.7132=15.设总体X的分布函数为F（x,）=1,0,.xxx其中未知参数1,0，设X1,X2,Xn为来自总体X的样本（1） 当=1 时，求的矩估计量；（2） 当=1 时，求的极大似然估计量；（

116、3） 当=2 时，求的极大似然估计量.【解】当=1 时，11,1;( ,)( ,1,)0,1.xxf xFxxx+=当=2 时,2132,;( , )( , ,2)0,.xxf xFxxx=+=其他所以的极大似然估计量1.lnniinx=(3) 似然函数23112,(1,2, );( , )0,.nninniiiixinLf xx=其他显然( ) ,LL =那么当时,1min ii nx =0( )max ( )aLLL=所以的极大似然估计量.1min ii nx =16.从正态总体XN（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于 0.95，问n

117、至少应取多大？2/21( )2edededed ztzt=【解】,则263.4,XNn3.4(0,1),6/XZNn=z1.281.6451.962.33(z)0.90.950.9750.9991.43.45.43.41.45.46/6/33210.95333ZPXPnnnnPZnnn= 于是则,0.9753n1.963nn35.17. 设总体X的概率密度为f(x，)=,01,1,12,0,.xx其他其中是未知参数（01）,X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于 1 的个数.求：（1）的矩估计；（2）的最大似然估计.解解( ( ( (1) ) ) ) 由于1201( ; )dd(1) dEXxf xxx xx x+=+-.133(1)222=+=令，解得，32X=32X=所以参数的矩估计为.32X=(2)似然函数为，1( )( ; )(1)nNn NiiLf x=取对数，得ln ( )ln()ln(1),LNnN=+两边对求导，得dln ( ).d1LNnN=令得，dln ( )0,dL =Nn=所以的最大似然估计为10.Nn=