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1、数列通项公式的求法一 求数列通项公式常用方法数列满足的递推公式方法由求（如）累加法（如）累乘法（如）构造数列为公比q的等比数列（如）取倒数，构造数列为等差数列（如）在原递推等式两边同除，构造数列，再进一步解决。注意：选择用哪一种方法求通项公式，关键是看已知条件数列满足的递推公式。有时要用上两种以上方法才可以求解。二.观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3） （4）三.公式法例2. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 三.由求： 例3.已知数列的前n项和，求（1） ; （2）例4.
2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。已知数列中，其前项和满足求数列的通项公式；例8、已知等差数列的公差d=1，且，成等比数列。（1）求的通项公式； （2）求例5.已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项例6 定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如,可将1×2×3××n记作，记，其中为数列中的第项若，则 设数列满足，求数列的通项；例7.数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（） 四.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例7.已知数列an满足
3、,写出数列的通项公式. 练习：1、已知数列的首项为1，且，写出数列的通项公式.2、已知数列满足写出该数列的一个通项公式例8数列中，若,且满足,证明（）数列是等比数列；（）数列an的通项公式。19. 已知数列满足，为常数，且，成等差数列.（1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）设数列满足，求证：.19. (1)，成等差数列，（1） ，那么（2） （3） 将（2），（3）代入（1），得将代入，得，即 以上列等式的左边叠加得以上列等式的右边叠加得即，又，检验知也成立，故通项公式为（2） 在上单调递减，且当时，即，当时，即，可知数列中为最大项，而，五.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即
4、：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8.在数列中 ，求数列的通项公式。练习：1、已知,求数列通项公式。2、求数列的通项公式。六.形如型（取倒数法）例9.已知数列中，求通项公式 2、若数列中，求通项公式. 七形如,其中)型（构造新的等比数列）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出。例10已知数列中，求通项.2、若数列中，,求通项公式。八.形如型（构造新的等比数列）方法1：可构造等比数列，可以用待定系数法确定常数。方法2：两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型七来解，例。已
5、知数列满足，（1）证明数列是等差数列；（2）求的通项公式；练习：已知数列满足，求；九.形如(其中p,q为常数)型，可构造等比数列例13.数列中，若,且满足,求.数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和（定义法） 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1 等比数列中，（1）若（2）求及前项的和。（用两种方法求公比）例 求和：练习 1.有穷数列，为其前项和，定义为数列的“凯森和”，如果有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，的“凯森和” .二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法
6、的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）=_（5）;（6）例2、求和：（1）。例3等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且是公比为64的等比数列。（1）求与；（2）证明：练习.A组题 1.求数列的前项和。2.已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.B组题3数列的各项均为正数，为为其前项和，对于任意,总有成等差数列。（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列的前项和为，且.求证：对任意的正整数，总有。
7、4.若的前n项和为，点均在函数y的图像上（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有 都成立的最小正整数mC组题5已知数列中，其前项和满足，令 （1）求数列的通项公式；（2）若，求证：（）3、 绝对值求和例4设数列的通项公式为（1）求; (2)求四、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。【例如：数列，其中数列的等比数列，数列是等差数列（如：）】例5 .已知等比数列的前项和为， ，且，成等差数列.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列前项和（3）设，求数列前项和练习1. 求之
8、和 2.；五错位相减求和法数列，其中数列的等比数列，数列是等差数列，（如：）正确实施错位相减法的步骤与注意事项 先写通项公式型如是等差数列，是等比数列,公比为q） 再列方程组，共写四项，错位排列！ 实施相减，合并同类项，注意最后一项为负数! 部分等比数列求和，注意项数!整理求出Sn。例6设数列an满足a12，an1an3·22n1.(1)求数列an的通项公式； (2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.例7设数列是等比数列，对任意，已知，。（1）求数列的通项公式；（2）求使得成立的最大正整数n的值。解（2）。-: ，所以。【这是错位相减法】练习A组题 1已知等差数列的公差为，且，
9、成等比数列.（1） 求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.解：（1）为等差数列，成等比数列，故有，解得，.（2） 得. ，.B组题 已知首项为，公比不等于的等比数列的前项和为，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求证：.（1）解：由题意得， 1分即， 即. 2分 . 3分 公比. 4分 . 5分另解：由题意得， 1分 . 2分化简得，解得， 4分. 5分 （2）解：， 6分 ， 7分 ， 8分 得，10分 . 12分 . C组题.设数列的前项和为，已知，（为常数，），且成等差数列（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列是首项为，公比为的等比数列，记，证明：解： （1），-2分成等差数列，即，-5分解得，或（舍去）-6分（2），-8分，-9分又，数列的通项公式是-10分（3）证明：数列是首项为，公比为的等比数列，-11分， ， 式两边乘以得 由得 将代入上式，得-14分另证: 先用错位相减法求,再验证.数列是首项为，公比为的等比数列， -11分又，所以 将乘以2得: 得: ,整理得: -12分将乘以得: 整理得: -
