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1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学() 吴汝龙定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设,若,则。特别地,当时,即P为线段的中点,则有。用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值:例1:已知A(),B()及直线:,直线AB与相交于P点,求P点分的比。解:设,则由,得,又P点在直线上,。例2:如图所示,在中,D为边BC上的点,且,E为AD上的一点,且,延长BE交AC于F,求F分有向线段所成的比。解:,又,而,B、E、F共线,设,而,解得。二、求直线上点的坐标例3:已知点,点C为直线AB上一点,且,求C点的坐标。分析:先求出C点分的的值,再利用定比分点
2、的向量公式求出点C的坐标。解:,利用定比分点的坐标公式有。C点的坐标为。例4:已知,且,求点C,D的坐标。分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点C,D的坐标。解:设,根据定比分点的向量公式有,同理由得,根据定比分点的向量公式有,点C的坐标为,D点的坐标为。三、证明三点共线例5:已知点,求证:A、B、C三点共线。证明:设在上,分的比为,则 ,解得与重合,由题设知C在AB上,A、B、C三点共线。四、求字母系数范围例6:已知点,一次函数的图象与线段AB有公共点,求实数的取值范围。解:设为一次函数图象与线段AB的交点,把P看作的定比分点,其定比为,则有,由定比分点公式有,而P点在函数图象上,
3、解得,即或,而当P点与B重合时,也适合。或。例7:若直线与连接,两点的线段有公共点,求实数的取值范围。解:当直线过P点时,直线过Q点时,当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时,设这个交点分的比为,由定比分点公式有,M点的坐标为, 又直线过点M,又点M在线段PQ上知,解得或,或。五、解决平面几何问题:例8:如图所示,在平行四边形ABCD中,P点在线段AB上,且,Q在线段AD上,且,BQ与CP相交于R,求的值。分析:取两基底,由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来,再求解。解:设,由题意有,则,又B、R、Q三点共线,存在实数使,且。,即。例9:设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证。分
4、析:以O为原点,为轴正向建立直角坐标系,设,用,表示相关线段的长度,从而证明命题。证明:以直角顶点O为原点,直角边OA、OB所在直线为轴,轴建立直角坐标系,如图设点,点,则D分的比为,由定比分点的向量公式得点D坐标为同理点E坐标为,由两点间距离公式,得, ,而,。例10:如图,已知,求证:的三条中线AD、BE、CF相交于一点G,且。分析:几何问题应用向量来解决,关键是将有关线段设为向量,可以在平面内任取一点O为向量的始点,将、设出。证明:如图,在平面内任取一点O,设,又设为AD上一点,且,则D为BC中点,同样,若设,则可证得,、三点重合。设交点为G,则有。在已确定的场地上,采用多种手段查明场地工程地质条件;采用综合评价方法,对场地和地基稳定性做出结论;对不良地质作用和特殊性岩土的防治、地基基础形式、埋深、地基处理等方案的选型提出建议;提供设计、施工所需的岩土工程资料和参数。5