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1、第1讲 比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目： （1）比较这几个分数的大小：、（2）试比较和，那个分数大？如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例1： 已知A=B = C= D=E(ABCDE都不等于0)，将A、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成A=B=C=D=E。下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么，A就是的倒数，即；同理，B应是，C是，D是，E是。这样
2、，我们很容易就能比较出这五个数的大小。因为,所以DECBA.随堂练习一： 如果a=b=c=d(a、b、c、d均不等于0)，a、b、c、d四个数中，谁最大?谁最小？例2：将下列分数从小到大排列起来： 、。分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化为：、。由150148 145 140 138，可以得到：，即。方法点评 如果几个分数的
3、公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二： 把下列分数按从小到大的顺序排列起来。、例3：已知A=，B=。试比较A与B的大小。分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比A比1少，B比1少，而，所以AB。方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比
4、较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三： 试比较下列两个分数的大小。和例4：比较和，那个分数大？分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？的倒数是，的倒数是，因为，所以。方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四： 试比较和的大小。例5：试比较下面两个分数的大小。和分析与解 观
5、察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个分数的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数。方法点评 当ab 时， ,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以。同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五： 比较与的大小拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。、2、比较下面两个分数的大小。和3、比较和的大小。4、比较与的大小。5、比较与的大小。第2讲 速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算
6、，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例1：计算下面各题。（1）9 （2）2003分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1）分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。（1）9 （2）2003 =（63+）9 =（）（2003） =63 9 + 9 =1（+2003） =7+ =1 = =方法点评：
7、有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）55 （2）167例2：计算：（1+）（1+）（1+）（）分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设=A 1+=B，原来的算式可以转化成：（1+A）B-BA=B+AB-AB=B所以本题的结果为：1+=方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二： 计算：（1+）（+）-（1+）（）例3：计算
8、 分析与解 这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50）502=1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：+例4：计算：（1）（）（）（2）分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：=145(),=5().所以，原式=（）（）=145()5()=1455=
9、29（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为2002=20021=2002100012=2002所以2002+2=2002（1+10001+）同理2003+3=2003（1+10001+）原式=随堂练习四：计算：（1）（）（）（2）例5：计算 分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：=1-，=，.=1-+=1-= 方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两
10、个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当ab时, = () 随堂练习五： 计算 拓展训练1.、计算（1+ ） （+）-（1+） （） 2、计算（） -（） 3、计算 4、计算 5、计算（1+） （1-）（1+）（1-）（1+）（1-） 第3讲 比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12,另一只杯子中盐与比是15 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解 要求混合液中的盐
11、与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占，水占；第二只杯子中的盐占，水占。两只杯子中的盐水混合后，盐为+=，水为+=。所以，混合液中的盐与水的比为：（+）（+）=13。答：混合后，盐与水 的比为13。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一： 六年（1）班男、女人数的比是54，六年（2）班男、女人数的比是21，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。例2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，占正方形面积的，三角形中阴影部分的面积占
12、三角形面积的，占正方形面积的。圆，正方形、三角形面积的最简整数比是多少?分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:12=16；三角形的面积为： 12=15。所以这三个图形的面积比就是：（12）12（12）=161215方法点评 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的。这两个长方形的面积比是多少？例3：有大小两个
13、长方形，大长方形的长比小长方形的长多，而小长方形的宽比大长方形的宽多。求这两个长方形的面积比。分析与解 大长方形的长比小长方形的长多，可以把小长方形的长看做4份，大长方形的长就是1+4=5份；小长方形的宽比大长方形的宽多。可以理解成八大长方形的宽看做10份，小长方形的宽是1+10=11份。所以，这两个长方形的面积比为：(510) (411)=5544= 2522 答：大小两个长方形的面积比为 2522 。随堂练习三： 有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多。求两个正方形的周长比。例4：六年（1）班男人数的与女生人数的相等，已知男生比女生多5人，这个班男、女生各有多少人？分析与解 根
14、据男人数的与女生人数的相等，可以列出数量关系：男生人数=女生人数。假设男人数的与女生人数的都是1，则男生人数为1=；女生人数为1=。所以，男、女生人数的比为：（1）（1）=65每一份的人数就是：5（6-5）=5（人）男生人数就是：56=30（人）女生人数就是：55=25（人）答：男生有30人，女生有25人。随堂练习四： 拔一根绳子按53截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2米。这根绳子原来全长多少米？ 例5： 小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 15 ，若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3 5。这本书共有多少页？分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比15”可知，把未读的页数看做1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份
