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1、键入文字西安交通工程学院高等数学教案时间-月-日星期-课题3.1 微分中值定理教学目的理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教学重点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课 型 基础课备课组教法选择 讲 授 教 学 过 程教法运用及板书要点一、罗尔定理1. 罗尔定理 几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。 C A B从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理 费马引理 设函数在点的某邻域内
2、有定义, 并且在处可导, 如果对任意, 有 (或), 那么. 证明：不妨设时，（若，可以类似地 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 证明）.于是对于,有, 从而当时, ; 而当时, ;根据函数在处可导及极限的保号性的得 ，所以, 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数满足：（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即, 那么在内至少在一点 , 使得函数在该点的导数等于零，即. 证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形： （1），此时在上必然取相同的数值M，即由此得因此，任取，有
3、 （2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有. 证毕 【例1】 验证罗尔定理对在区间上的正确性 解 显然 在上连续，在上可导，且, 又, 取,有. 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. 【例2】 证明方程有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设, 则在上连续，且由介值定理存在使, 即为方程的小于1的正实根. 设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个（在之间）使得. 但, 矛盾, 所以为方程的唯一实根.2、
4、拉格朗日（Lagrange）中值定理 在罗尔定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理： 定理2：若函数满足：-2-112-0.75-0.5-0.250.250.50.75(i)在上连续 ； (ii)在上可导； 则在内至少存在一点，使得 。 即 若此时，还有， 。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。证明：上式又可写为 (1)作一个辅助函数： (2)显然，在上连续，在上可导，且 ，所以由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得。 又 或 。注 1：拉格朗日中
5、值定理是罗尔中值定理的推广； 2：定理中的结论，可以写成，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成： (3)若令 (4)3：若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为： 也可写成 可见，不论哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。 4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。由定理还可得到下列结论：推论1：
6、如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。证明：在中任取两点，在连续，在可导，由拉格朗日中值定理，则在内至少存在一点，使得 由假设可知在上，从而在上， ， 所以 ， 可见，在上的每一点都有： （常数）。【例1】 【例3】 证明当时 . 证： 设，显然在0，x上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点使由于 ， ，代入上式有 即 又由于 所以 即 注：（1）构造辅助函数；（2）正确确定区间左右端点，利用TH2可得.三、 三、柯西中值定理定理3：若满足：(1)在上连续； (2)在内可导；(3) 则在内至少存在一点，使得 。证明：令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有 ，事实上， 所以满足罗
7、尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又 因为， 注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得到拉格朗日中值定理； 2：几何意义：若用 （）表示曲线，则其几何意义同前一个。【例4】 【例4】 证明（）。证：令，由推论知f(x)=常数！再由，故。【例6】 【例5】若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根。证明：令，在闭区间上满足罗尔定理的三个条件，故上式表明（）即为方程的根。工厂搬迁对于一个企业来说，安全问题始终是第一位的，也是最基本的，过程中所涉及到的安全问题主要是人员的安全和设备拆装以及财产的安全。各部门经理和所有员工一定要以安全为核心，开展各项工作，职责到人、分工明确。 7 / 7西安交通工程学院高等数学课程建设组
