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1、,第四章 不定积分,第一节 不定积分的概念,第二节 不定积分的计算,第一节 不定积分的概念,一.换元积分法,二.分部积分法,本节主要内容:,(一) 第一类换元积分法,(二) 第二类换元积分法,一.换元积分法,(一) 第一类换元积分法(凑微分法),引例 :,解决方法,利用复合函数的中间变量, 进行换元 .,说明结果正确,将上例的解法一般化:,将上述作法总结成定理, 使之合法化, 可得 换元法积分公式,定理4.2.1 设f(u)具有原函数F(u) , (u)是连续函数, 那么,难,易,例2 计算,我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下:,. 被积函数是一个复合函数,与公式作对比, 公式中自变量x变
2、成了ax+b的形式, 这时设ax+b为中间变量，,例3 计算,1. 被积函数中含有两个多项式, 其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式.,. 被积函数是两个函数乘积形式,(1) 原式,例3 计算,(2)原式,例4 计算,2 被积函数中, 其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数.,例5 计算,例4 计算,原式,2、被积函数中, 其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数。,例5 计算,原式,例6 计算,例6 计算,原式,第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式 ，
3、应理解为 ,其中u可以是x的任一可微函数; 其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致.,常用的凑微分形式有:,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,例7 计算,解法一,例7 计算,解法二,例7 计算,例8 计算,有理分式积分,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,例8 计算,例8 计算,例8 计算,例8 计算,(1)有理分式积分,例8 计算,练习 求,原式,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,练习 求,例8 计算,例8 计算,例8 计算,例 9,例9,例 9,例1
4、0,被积函数含有三角函数,例10,例10,例10,例10,例10,例10,(3)被积函数含有三角函数,例10,例10,例10,例10,例10,例11 计算,例12,例11 计算,例12,第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法, 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析. 要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子.,练一练,练一练,(二) 第二类换元积分法,定理4.2.2 函数 x (t) 有连续的导数且 (t)0，又 f (t) (t) 有原函数 F(t)，则 其中t -1(x)是x (t
5、)的反函数.,1. 根式代换,.被积分函数中含有 （根号里是一次式）类型-根式代换法，令,例1 计算,例2 计算,例3 计算,例4 计算,例1 计算,令 则 于是,例2 计算,令 则 于是,例3 计算,令 则 于是,例4 计算,令 则 于是,练一练,2. 三角代换,. 被积分函数中含有 类型-三角代换法,例5 计算,令 则,例6 计算,令 则,根据 作辅助三角形, 如图.,其中 C = C1 - lna .,例7 计算,令 则,根据 作辅助三角形，如图.,其中 C = C1 lna .,第二类换元积分法是基本积分方法之一, 使用第二换元积分法的关键在于选择适当的变换, 消除被积式中的根号, 最
6、常见的形式有: （1）被积函数中含有： 设 （2）被积函数中含有： 设 , n为n1、n2 的最小公倍数 （3）被积函数中含有： 设 （4）被积函数中含有： 设 （5）被积函数中含有： 设 在作三角替换时, 可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系, 以返回原积分变量.,例8 计算,解法一 三角代换法,令 x = tan t，,于是得,则 dx = sec2 tdt，,= ln |csc t cot t | + C,解法二 根式代换法,于是有,练一练,二.分部积分法,设函数 u = u(x), v = v(x) 具有连续导数:,u = u(x), v = v (x)， 根据乘积微分公
7、式,于是有,即,d(uv) = udv + vdu，,分部积分公式,难,易,例1 计算,可见运用分部积分公式的关键是恰当选择u，v .,当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在后的另一个函数选作v.,例3 计算,例4 计算,例5 计算,例6 计算,例7 计算,例8 计算,例9 计算,例10 计算,例11 计算,例12 计算,例4 计算,例5 计算,练习 求,例6 计算,例7 计算,例 8 计算,移项 , 两边除以2 , 并加积分常数 , 得,当两次应用分部积分法后又出现了原积分时, 我们是用解方程的方法求出积分结果的.,注意,例9 计算,例10 计算,令 则 于是,例11 计算,求上式右端的不定积分,用第二换元法.,则 dx = 2tdt ,于是有,= 2(t arctan t) + C,代入, 得,例12 计算,令 lnx=t ,则x=et ,dx=etdt , 于是,练一练,内容小结:,1.换元积分法,2.分部积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),
