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1、 阅读材料：二阶常系数递推关系求解方法如果某数列 满足涉及连续三项 的递推关系 ，na12,nna 12nnapqa，其中 是已知的非零常数，并且初始条件即前两项 的数值已给出，它的通3n,pq 12,项将会是何种形式？我们把递推关系 写成12nnaqa112na其中 是待定系数，上式通过合并同类项，还原为,12nnna与 进行系数对比，有12nnapqapq由一元二次方程根与系数关系，我们知道， 是关于 的一元二次方程,x（该方程通常写成 ）的两根。也就是说对于满足递推关系20xpq2xp， 的数列 ，其通项公式与一元二次方程 的根密切12nnaa3na2xpq相关。一般地，我们称方程 及其
2、根 分别为递推关系 的特2xpq,12nnaa征方程和特征根。我们就一元二次方程 的根的情况分成两点讨论2一、当 时，即特征方程的判别式 时，240pq递推关系 可以写成12nnapqa112nna由于 与 的地位对等，我们也可以写出112nna由知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以有1na2 112nnaa同理，由知112nn由消去 得1na1122nnnaa所以，数列 的通项公式是n1122nnna事实上，由知，对于 的情况，只要求出特征根 与 ，那么递推240pq关系 ， 的解必定可以写成12nnapqa3naAB的形式，系数 将由问题的初始条件 确定。这样做可以减少计算量。,
3、AB12,二、当 时，即特征方程的判别式 时40pq递推关系 可以写成12nnapqa112nna由上式知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以有1n2112nna两边除以 得1n121na所以数列 是以 为公差的等差数列，故na21a121na所以数列 的通项公式是na22121nnana由知，对于 的情况，只要求出二重特征根 ，那么递推关系240pq， 的解必定可以写成12nnapqa3nnaAB的形式，系数 将由问题的初始条件 确定。,AB12,例题1.课本第 69 页，第 6 题：已知数列 中， ， ， ，na125,a123nna对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？略解：特征方程 有相异实数根 ，再根据初始条件 求得23x3,125,.1174nnna2. 斐波那契（Fibonacci）数列：数列 满足 ，求它nF1212, ,nnF的通项公式。略解：特征方程 的两根是 ，再根据初始条件 可得21x5,212,.1nnnF例题 3. 已知数列 中， ， ， ， （ ） ，求这个数na102a124nna3列的通项公式。略解：特征方程 有二重根 ，再由初始条件 ， 可得24x1022nna
