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1、第七节 二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为p qy0 (7.1)2dxy其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y 就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的
2、特点是 ， ，y 各乘2dx以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数 y，其 ， ，y 之间只相差一个常数因子，这样的函2dx数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数 erx，符合上述要求，于是我们令ye rx(其中 r 为待定常数)来试解将 ye rx， re rx， r 2erx代入方程(7.1)dxy得 r 2erxpre rxqe rx0或 e rx（r 2prq）0因为 erx0，故得r2prq0由此可见，若 r 是二次方程r2prq0 (7.2)的根，那么 erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2
3、)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根 r ，r 2，称为特征根，由代数知识，特征根 r1，r 2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r ，r 2，此时 erx ，e r2x是方程(7.1)的两个特解。因为 e 常数xr21x)r(21所以 er1x，e r2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为yC 1er1xC 2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 r1r 2，此时 p24q0，即有 r1r 2 ，这样只能得到方程(7.1)的一个p
4、特解 y e rx ，因此，我们还要设法找出另一个满足 常数，的特解 y2，故 应是 x 的某个函数，12 12设 u，其中 uu(x)为待定函数，即12yy2uy 1ue r x对 y2求一阶，二阶导数得 er1xr uer1x( r 1u)er1xdxudxu(r 2 u2r 1 )er1x2 2将它们代入方程(7.1)得 (r21ur 1 )er1xp( r 1u)dx2udxer1xque r1x0或 (2r 1p) (r pr 1q)u2dxudxuer1x0因为 er1x0，且因 r1是特征方程的根，故有r pr q0，又因 r1 故有 2r1p0，于2是上式成为02dxu显然满足
5、 0 的函数很多，我们取其中最简单2的一个u(x)x则 y2xe rx 是方程(7.1)的另一个特解，且y1，y 2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是yC 1er1xC 2xer1x(C 1C 2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根 r1i，r 2i此时方程(7.1)有两个特解 y1e (i)x y2e （i）x 则通解为yC 1e（i）x C 2e（i）x 其中 C1，C 2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式eixcosxisinx，e ix cosxisinx有 (eixe ix )cosx
6、21(eixe ix )sinxi(y1y ) ex (eix e ix )e x cosx(y1y 2) ex (eix e ix )iie x sinx由上节定理一知， (y1y 2)， (y1y 2)是方i程(7.1)的两个特解，也即 ex cosx，e x sinx 是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为yC 1ex cosxC 2ex sinx或 ye x (C1cosxC 2sinx)其中 C1，C 2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中 ， 分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.
7、1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下特征方程 r2prq0的根微分方程p qy0 的通2dxy解有二个不相等的实根r1，r 2yC 1er1xC 2er2x有二重根 r1r 2 y(C 1C 2x)er1x有一对共轭复根 ir2yex (C1cosxC 2sinx)例 1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解(1) 3 y02dx(2) 4 4y0(3) 4 7y02解 (1)特征方程 r23r100 有两个不相等的实根 r15，r 22所求方程的通解 yC 1e 5r C 2e 2x(2)特征方程 r24r40，有两重根r1r 22所求方程
8、的通解 y(C 1C 2x)e 2x(3)特征方程 r24r70 有一对共轭复根r12 i r22 i33所求方程的通解 ye 2x (C1cos xC 2sin x)7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程p qyf(x) (7.3)2dxy的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而 后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x
9、)p n(x)ex ，其中 pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当 0 时，即当f(x)p n（x）时方程p qyp n(x) (7.4)2dy的一个特解。(1)如果 q0，我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解 Q n(x)ya 0xna 1xn1 a n ，其中 a0，a 1，a n是待定常数，将 及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两y边都是 n 次多项式，比较两边 x 的同次幂系数，就可确定常数 a0，a 1，a n。例 1. 求 2yx 23 的一个特解。2d解 自由项 f(x)x 23 是一个二次多项式，又q20，则可设方程的特解为a 0x2a 1xa 2y
10、求导数 2a 0xa 1 2a 0代入方程有 2a0x2(2a 02a 1)x（2a 0a 12a ）x 23 比较同次幂系数解得 3a2100 47a21a0所以特解 x2 xy(2)如果 q0，而 p0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时 Q n(x)不能满足方程，但y它可以被一个(n1)次多项式所满足，此时我们可设xQ n(x)a 0xn1 a 1xna nxy代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常数a0，a 1，a n。例 2. 求方程 4 3x 22 的一个特解。2dxy解 自由项 f(x)3x 22 是一个二次多项式，又 q0，p0，故设特解 a 0x3a 1x2a
11、2xy求导数 3a 0x22a 1xa 2 6a 0x2a 1y代入方程得12a0x2（8a 16a 0）x（a 14a 2）3x 22，比较两边同次幂的系数 解得 2a4068310 3219a640所求方程的特解 x3 x2 xy4(3)如果 p0，q0，则方程变为 p n(x)，此2dy时特解是一个(n2)次多项式，可设x 2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积y分求得。下面讨论当 0 时，即当 f(x)p n(x)ex 时方程p qyp n(x)ex (7.5)2dxy的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子 ex ，如果能通过变
12、量代换将因子 ex 去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设 yue x ，其中uu(x)是待定函数，对 yue x ，求导得e x ue x dxyu求二阶导数 e x 2e x 2uex 22dx代入方程(7.5)得ex 2 2upe x u2dxudxuque x p n(x)ex 消去 ex 得(2p) ( 2pq)up n（x） 2dxudxu(7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：(1)如果 2pq0，即 不是特征方程r2prq0 的根，则可设(7.6)的特解 u n(x)，从而可设(7.5)的特解为Q n(x)ex y(2
13、)如果 2pq0，而p0，即 是特征方程 r2prq0 的单根，则可设(7.6)的特解 uxQ n(x)，从而可设(7.5)的特解为xQ n(x)e xy(3)如果 r2pq0，且p0，此时 是特征方程 r2prq0 的重根，则可设(7.6)的特解 ux 2Qn(x)，从而可设(7.5)的特解为x 2Qn(x)e xy例 3. 求下列方程具有什么样形式的特解(1) 5 6ye 3x2d(2) 5 6y3xe 2xxy(3) y(3x 21)e x2解 (1)因 3 不是特征方程 r25r60 的根，故方程具有形如a 0e 3x 的特解。y(2)因 2 是特征方程 r25r60 的单根，故方程具有形如x(a 0xa 1)e 2x 的特解。y(3)因 1 是特征方程 r22r10 的二重根，所以方程具有形如x 2(a0x2a 1xa )e x 的特解。y例 4. 求方程 y(x2)e 3x 的通解。2d解 特征方程 r 10特征根 ri 得，对应的齐次方程y0 的通解为2dxYC 1cosx C sinx由于 3 不是特征方程的
