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1、第一讲 直线上的相遇与追及问题教学目的：1、 学会行程的中，速度、时间、路程三个量的关系2、 掌握相向、背向、同向等概念3、 会运用追及和相遇解决简单行程问题基本知识点 行程三个量的关系公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间三个概念：相向而行：面对面而行（如图）。同向而行：面朝的方向相同而行（如图）背向而行：背靠背方向，方向相反而行（如图）。相遇和追及问题 1、相遇问题含义： 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系： 总路程（甲速乙速）相遇时间 相遇时间总路程（甲速乙速）（甲速乙速）=总路程相遇时间2、追及问题含义： 两个运动物体在不同
2、地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系：追及路程（快速慢速）追及时间追及时间追及路程（快速慢速）（快速慢速）追及路程追及时间3、注意点： 在处理相遇与追及问题的时候，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻时候所处的状态。 在行程问题里面所用的时间都是时间段，不是时间点（非常重要）。 无论在哪一类行程问题里面，只要是相遇，就与速度和有关，只要是追及，就与速度差有关。相遇例题：例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各
3、开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？解 392（2821）8（小时）答：经过8小时两船相遇。例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4002相遇时间（4002）（53）100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在
4、距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇时间（32）（1513）3（小时）两地距离（1513）384（千米）答：两地距离是84千米。追及例题：例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 7512900（千米）（2）好马几天追上劣马？ 900（12075）20（天）列成综合算式 7512（12075）9004520（天）答：好马20天能追上劣马。例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用4
5、0秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用40（500200）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200）3001003（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军
6、几个小时可以追上敌人？解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216）小时，这段时间敌人逃跑的路程是10（226）千米，甲乙两地相距60千米。由此推知追及时间10（226）60（3010）2202011（小时）答：解放军在11小时后可以追上敌人。例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 162（4840）4（小时）所以两站间的距离为 （4840）435
7、2（千米）列成综合算式 （4840）162（4840）884352（千米）答：甲乙两站的距离是352千米。例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（1802）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（9060）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为1802（9060）12（分钟）家离学校的距离为 9012180900（米）答：家离学校有900米远。例6 孙亮打算上课前5分钟
8、到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（105）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（105）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9（105）分钟。所以步行1千米所用时间为 19（105）0.25（小时）15（分钟）跑步1千米所用时间为 159（105）11（分钟）跑步速度为每小时 11160
9、160115.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。第二讲 环形跑道的相遇与追及教学目的：1、 了解什么是环形跑道问题2、 掌握环形跑道上相遇与追及的特点基本知识点1、环形跑道相遇问题：如上图，我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇，相遇的时候他们刚好走过一个圆周的周长，如果在进行多次相遇的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次相遇。重点：因此，圆周上的相遇告诉我们，每相遇一次，他们两个人的路程和为一个圆周的周长。相遇几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系，来进行解题公式：一个圆周的周长=（快速慢速）相遇时间2、环形跑道上的追及问题如上图，我们可以看到甲、乙
10、两人同向而行，快的会再一次在圆周上追上慢的，当追上的时候，快的刚好比慢的多走一个圆周的周长，如果在进行多次追及的时候，与第一次相遇的情况一样，新的起点，再次追及。重点：因此，圆周上的追及告诉我们，每追及一次，快的就应该比慢的多走一个圆周的周长。追及几次，就是几个圆周的周长。由此，也可以建立等量关系，来进行解题公式：一个圆周的周长=（快速慢速）相遇时间1.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？答案：假设没有休息 那么100/（54）=
11、100秒钟 在100/5=20秒 100/20-1=4（次）100+4*10=140秒2.小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间？答案：x4=（360-x）5=160（3602-160）5160444分3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2X/2*5+X/2*4=360X=80总共跑了80秒前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米后一半的路程为3
12、60/2=180米后一半的路程用的时间为（200-180）/5+40=44秒4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案：设时间X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒 后一半路程时间=4+40=44秒 答：后一半路程用了44秒5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时
13、间？答案：设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了6*30=180M。6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？答案：前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下 此时已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7时击掌 一次，然后2人共一圈
14、击掌1次 耗时 （4+2/7）/（1/4+1/7）=30/7*（11/28）=165/98； 甲共总走了40+165/98 H 已走了 （40+165/98）*（400/7） M第三讲 多人相遇与追及问题教学目的：1、 了解多人相遇与追及的解题技巧。2、 会运用一些其他应用题手段来解决问题。基本知识点多人相遇与追及问题，与之前我们所接触的行程问题有所不同，因为它是三个人或者三个人以上的行程问题，这样发现多了很多关系，整体处理起来就比较难以入手。解决技巧：数学思想就是把复杂问题简单化，因此，我们可以把多人的看成是两个人两个人的行程关系。对于行程关系，我们前面已经说过了，除了有相遇与追及之外，有时还会出现，超越与背向而行产生距离。超越的关系：路程公式：（快速慢速）超越的时间=拉开的距离会发现，超越与追及的公式一样，因此可以把它们归为一类。背向而行产生距离：公式：（快速慢速）相遇时间=两个
