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1、1,小学生数学学习的心理 分析,鲍建生 华东师范大学数学系,jsbao,以学定教,2,如果我必须把所有的教育心理学理论化约成一个原则的话，我宁愿这么说：影响学习的一个最重要的因素，即是学习者已经知道的事。 -奥苏伯尔,斯根普讲的一个故事,一所英国的中学和一所美国的中学约定在周末举行一场Football比赛。两所学校都作了非常充分的准备。到了周末，双方高高兴兴地来到球场，却发现根本没法比赛。因为，英国人认为Football是足球，而在美国人眼里Football是橄榄球。,斯根普用这个故事告诉我们，有时候教师和学生都以为明白了对方的意思，但实际上，他们想的却是两码事。,一、概述,4,老师适合做什么
2、样的研究,自上而下（演绎法）自下而上（归纳法） 理论研究（改变理论） 实证研究（检验假设） 设计研究/案例研究/行动研究/教学实验（教学设计, 典型案例，改变行为，提升经验）,走进课堂，解决教与学中的实际问题！,聚焦课堂教学,课堂教学,案例研究,行动研究,设计研究,设计研究的基本流程,研究者与实践者合作分析实践中的问题,在现有设计原理的基础上探讨创新设计,通过反思改进设计原理并推动设计的应用,在实践中对设计进行反复的试验与修正,对问题、策略、途径及设计原理的调整,基本的研究假设（一）,数学教学的根本目的是学生的理解； 数学学习有其自身的特点（数学的思维方法是蕴含在数学知识中的，属于知识丰富领域
3、的问题解决；小学：关系推理，比例推理，类比推理，）； 学生对数学的理解存在于自己的头脑中（黑箱）； 可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解（需要合适的研究工具）； 学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征（信度与效度）； 学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平（层次与差异）； 适当的教学可以改进学生的理解水平（教学的有效性）。,基本的研究假设（二）,良好（相互联系的、有深度的）的认知结构在问题解决（迁移）中有重要的作用（迁移理论）； 结构化的知识需要有层次的推进(教学层次论) 典型例题（样例）是数学认知结构的重要成分（样例学习）； 同化与顺
4、应是改进认知结构的基本途径(认知冲突/心理挣扎). 在情境中获得的知识（情境认知）带有许多附加的信息，这些信息有积极的成分，也有消极的成分； 技能精熟有助于解决复杂问题, 而练习是技能精熟的必要条件（精致练习）； 不同的任务需要/引发不同的认知活动； 数学的 “天赋基因”在低年级就会打开，但如果没有及时的强化，这扇门会慢慢关上（资优教育）。,理论与经验的互动,经验,理论,支持预测； 为研究提供分析框架； 具有解释的能力； 能应用于广泛的现象； 有助于对复杂现象的思考； 作为资料分析的工具； 提供一种深层次交流的语言。,源于实践； 实用； 个人化； 嵌于特定的情境之中； 比较模糊，不易表征、把握
5、和传授； 难以跨领域的交流。,11,二、数学学习的理论思考,数学学习的理论探讨,新书简介,本书分上下两篇：上篇重点介绍五个经典的、对数学学习有较高理论价值的研究成果；下篇从微观的角度去探讨学生学习数学的心理基础与过程。 本书对近二十年来国际数学教育心理研究领域的主要成果和研究方法进行了梳理和剖析，其目的是：,帮助读者拓展眼界，了解当代数学教育的研究前沿； 提供研究的观点、框架、方法、案例和问题。 为教师的数学课堂教学提供理论支持，帮助他们解释教学中的疑难与困惑，提高教学的效率。,数学教学设计研究,13,教学设计,聚焦：数学学习的认知过程,14,认知过程,目标设计：定位+途径+评价,本节课的教学
6、目标,三、数学学习心理研究的基本问题,16,17,（一）认知层次,加涅的学习层次理论 脚手架与铺垫,有层次的推进 脚踏实地 目标驱动 途徑单一,进度不同,跳来跳去 风险大 活动驱使 多种途徑，多种进度,概念表征的三个阶段(Bruner),案例分析2：变化的量,教材层次：,（二）错误概念（概念混淆）,研究框架,寻错,析错,改错,防错,现状调查,教学策略,信念,态度,错误分析,类型,原因,差异,聚焦一个核心内容,例1:,如果位值概念掌握不好, 学生可能会犯什么样的错误?,学生会在心理上把小数分成整数部分和纯小数部分，例如把148.26近似为150.3; 学生会认为“更多位”就意味着一个数更大，例如
7、，0.1814比0.385和0.3都大。,聚焦一个核心内容,例2:,分数概念学习中出现的错误及其原因.,研究问题:,分数的哪种含义（连续量（如图形）中的整体-部分关系；子集-集合关系；等分除的商；小数；数轴上的一点；比/比值）容易导致学生的错误? 分数概念的发展阶段：教学层次及其关键因素。 分数概念学习中常见的错误和主要困难。 分数概念教学的基本策略。分数加法的错误类型可大约归纳为以下六类：（1）带分数转换假分数的错误；（2）整数转换为等值分数的错误；（3）通分时转换等值分数的错误；（4）求公分母的错误；（5）加法程序的错误；（6）不会化减或约分。,（三）困难解析,25,多数（有理数概念的）发
8、展都产生于重要的认知改组的初期（即从具体运算到形式运算思维的过渡）。 重要的质变不仅发生在基本概念的结构中，而且也在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征系统中产生。 表征系统的作用是迥异不同的，而且常按有趣的心理方式相互作用，这是因为，表征和作业特征都是关键。 有理数概念包含了一大套整合了的子结构和加工过程，而且有许多基本而有深奥的概念有关（例如，测量、概率、坐标系、制图等）。,小学生笔算乘法的困难分析,笔算是一种程序性知识。学生的许多错误是因为算法程序不熟悉。程序性知识的教学的基本步骤：认知定向，具体化模仿，言语化模仿，内化。 算术问题的难度分析：早期研究除了排列各种算式难度等级外，还试图
9、确定能解释各种算式相对难度的因素，后来的研究重点转移到问题的结构特征或问题提出的条件，并开始从内部的认知过程去分析学生解题中遇到的困难与障碍。 关于问题表征的研究：在解题过程中，学生常常需要将一种表征形式转化为另一种表征形式，或者在内部表征和外部表征之间相互转化，这需要较高的抽象能力。,关于小学算法的研究,在小学阶段强调算法（有固定程序的算法）的理由： 在世界各国，算法都是小学数学课程的传统内容； 算法可以解决一类问题，特别是运算涉及多个数字或者超出记忆负荷时，一般化的算法显得很有用； 算法是一种经过压缩的、一般化的解题程序； 算法可以可以弥补知识的不足。 算法是自动化的，即使在不知道其背后原
10、理的情况下，仍可以掌握和使用； 算法是目标指向的，而且是高效率的； 算法可以为计算过程提供书面的记录，便于教师和学生发现其中的错误； 算法是可教的； 对于教师来说，算法易于处理与评价。,但是,算法程序的过早教学也有一些不利，其中包括: 算法程序常常与人们的习惯思维不一致（有关算法可以训练思维的论点缺乏证据）； 算法的运用会诱使学生放弃他们自己的想法，不利于“原创思想”的培养； 算法不利于数意识的形成； 算法使得学生习惯于依赖数字的空间排列； 算法会使学生盲目接受运算的结果； 在实际生活中，书面算法很少使用（特别在计算器普及的情况下）。,（四）数学推理与思维,29,如何培养小学生的关系性思维,什
11、么是关系推理？,关系推理的一组测试题,问题/任务对关系推理的影响,问题的型态。许多学生解决关系推理问题时，能根据前提条件，建立初始模型，最终获得结论，但却不能验证模型。 问题的难度。难度越大，涉及的关系越复杂，具有的前提条件越多，所需要的认知容量也就越大。 问题的表征。由于关系推理是通过直接表征呈现前提（图画、操作物、符号等），因此，一方面能够减缩认知容量的负荷，有利于前提条件的整合; 另一方面也有助于对问题的理解与解释。然而，采用直接表征有时也会引发知觉反应（即根据感知觉，而不是前提条件进行推理），而产生图画效应。,算术思维与代数思维解决实际问题的区别,算术思维解决问题模型,算术思维与代数思
12、维解决实际问题的区别,代数思维解决问题模型,代数和算术思维之间的对照,算术思维向代数思维的过渡,基兰认为，从算术思维向代数思维的过渡需要满足以下的条件： 聚焦关系，而不仅仅是数值运算； 聚焦运算和逆运算，及设而不求的思想； 聚焦对问题的表征及解决过程，而不只是答案； 聚焦字母符号，而不只是数字； 重新认识等号的意义。(Kieran, 2004）,(五)学习差异数学资优教育,36,问题的提出,一些研究认为： 中国学生善于解决问题，但不善于提出问题； 中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题； 中国学生缺少批评性思维和创新意识； 中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？,你同意上述观点吗？
13、,（相关研究：Brenner, Herman, Ho, Wang, J and Lin, E., 2005）,存在的问题：青浦新世纪行动,数学认知水平测试17年前后比较 （青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）,存在的问题：课程因素,39,教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）,40,存在的问题：课堂教学,小步子：学生缺少数学探究的机会 赶进度：学生缺少数学探究的空间 套题型：学生缺少数学探究的意识 重技巧：学生缺少数学探究的策略 看分数：学生缺少数学探究的动力 牵着走：学生缺少数学探究的氛围,数学资优生的鉴定,对资优生的评估与鉴定，目前一般也采用多维框架和多种途径。如美国的分流方案
14、（Project STREAM）构建了一个“才能鉴定矩阵”（TIM），其中列举出各种各样的能力；韩国的大学资优教育中心（GEC）采用的是“基于数学创造力或高等数学思维能力的评估体系”（Lee et al., 2003）。对数学资优生来说，最常用的仍然是能力测试（如斯坦福大学EPGY 资优生数学选拔测试等）。,影响资优生发展的主要因素,研究表明，影响资优生发展的因素包括： 课程水平。普通课程会使资优生失去兴趣、降低学习动机，因而影响学习成效。 区分教学。由于资优生学习速度快，课堂上的内容很快听懂，甚至没教就都会了，因此需要各种形式的区分教学。 教师期望。教师有可能因未发掘学生潜能而期望过低，使学
15、生感受到老师认为自己不行。 同伴影响。 教学风格。如果教师的教学风格适应学生的学习，就能帮助学生发挥最大的学习效果并提升学生的学习兴趣 教学策略。资优生通常需要较少结构性、较少指导、较少的规定和练习，但需要较多机会让他们去寻找或使用自己的策略和结构。,数学资优生的特点,概括数学材料的能力（能在表面上互不相同的，或者互不联系的事物中，看出存在一般性的能力）； 心理过程的灵活性； 力求找出最简洁明了的解题方法； 对一般化的关系、推理的模式和解答典型问题的方法有良好的记忆力； 推理过程的缩短和减少推理的个别环节； 对周围环境有一个初级形式的“数学”直觉许多事物或现象似乎都是透过数学关系的棱镜折射出来
16、的 克鲁切茨基,智优教育方案,充实。充实意味着课程内容深度和广度上的拓展这就是说要比标准的课程更加详细地探索专题以及更加深刻的理解，如提供专题学习的方式以及提供在常规课程中没有涉及的课题 区分。有三个基本方面的区分：内容、过程和成果。 加速升级。指提供学生一个比正常课程层次更高的课程、给予更复杂的讯息、涵盖更密集的材或更多的讯息，呈现速度比典型班级的教学更快的教材、提供给学生的教材比正常级水平具备更大的挑战性,“大众数学”与“精英数学”,适者生存与统一发展（学游泳与旅游） 选拔人才的筛子; 本肖夫的数学网络课堂 电影：死亡诗社 卡尔威特的教育 卢梭爱弥尔 资优教育 教育的公平性,三、基于学习理论研究的教学模式,46,案例分析1：数学变式教学,案例分析2：茅以升教学法,每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，
