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1、四边形1如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，求PD的长考点：正方形的性质；勾股定理。 专题：计算题。分析：用EF，BE，AB分别表示AP，BP，用CF，PF，DC分别表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP解答：解：延长AB，DC，过P分作PEAE，PFDF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2
2、+BP2，代入AP，BP，CP得DP=2，点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是解题的关键2如图，ABCD中，ABC=75，AFBC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求AED的大小考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线。 专题：计算题。分析：由DE=2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得ADO，AOE，AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可解答：解：取DE中点O，连接AO，四边形ABCD是
3、平行四边形，ADBC，DAB=180ABC=105，AFBC，AFAD，DAE=90，OA=DE=OD=OE，DE=2AB，OA=AB，AOB=ABO，ADO=DAO，AED=EAO，AOB=ADO+DAO=2ADO，ABD=AOB=2ADO，ABD+ADO+DAB=180，ADO=25，AOB=50，AED+EAO+AOB=180，AED=65故选B点评：此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是注意方程思想的应用3在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于
4、A和D的任意一点，且PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=考点：矩形的性质；等腰三角形的性质。 专题：几何图形问题。分析：首先过A作AGBD于G根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则PE+PF=AG利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为PE+PF的长解答：解：如图，过A作AGBD于G，则SAOD=ODAG，SAOP+SPOD=AOPF+DOPE=DO（PE+PF），SAOD=SAOP+SPOD，PE+PF=AG，等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，PE+PF=AGAD=12，AB=5，BD=13，故答案为：
5、4如图，在ADC中，BAC=90，ADBC，BE、AF分别是ABC、DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GFAC考点：平行四边形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。分析：从角的角度证明困难，连接EF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形解答：证明：连接EFBAC=90，ADBCC+ABC=90，C+DAC=90，ABC+BAD=90ABC=DAC，BAD=CBE、AF分别是ABC、DAC的平分线ABG=EBDAGE=GAB+GBA，AEG=C+EBD，AGE=AEG，AG=AE，
6、AF是DAC的平分线，AOBE，GO=EO，ABOFBO，AO=FO，四边形AGFE是平行四边形，GFAE，即GFAC5如图，ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边ADE（1）求证：ACDCBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且DEF=30考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题。分析：（1）在ACD和CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等（2）当DEF=30，即为DCF=30，在BCF中，CFB=90，即F为AB的中点，又因为ACDCBF，所以点D为BC的
7、中点解答：证明：（1）由ABC为等边三角形，AC=BC，FBC=DCA，CD=BF，所以ACDCBF（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度按上述条件作图，连接BE，在AEB和ADC中，AB=AC，EAB+BAD=DAC+BAD=60，即EAB=DAC，AE=AD，AEBADC（SAS），又ACDCBF，AEBADCCFB，EB=FB，EBA=ABC=60，EFB为正三角形，EF=FB=CD，EFB=60，又ABC=60，EFB=ABC=60，EFBC，而CD在BC上，EF平行且相等于CD，四边形CDEF为平行四边形，D在线段BC上的中点，F在线段AB上的
8、中点，FCD=60=30则DEF=FCD=306如图所示，在RtABC中，AB=AC，A=90，点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论考点：等腰三角形的判定。 专题：证明题。分析：根据已知，利用SAS判定AEMBFM，从而得到EM=FM；根据角之间的关系可求得EMF=90，即MEF是等腰直角三角形解答：解：MEF是等腰直角三角形证明如下：连接AM，M是BC的中点，BAC=90，AB=AC，AM=BC=BM，AM平分BACMAC=MAB=BAC=45ABAC，DEAC，DFAB，DEAB，DFACBAC=90，四边形DFAE
9、为矩形DF=AEDFBF，B=45BDF=B=45BF=FD，B=MAE=45，AE=BFAM=BMAEMBFM（SAS）EM=FM，AME=BMFAMF+BMF=90，AME+AMF=EMF=90，MEF是等腰直角三角形7设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BCBD，且BC=BD考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。分析：此题关键是证PBCPDB，已有PC=PD，PB是公共边，只需再证明BPD=CPB，而BPD=APG，则证明APG=CPB，进而
10、需要证明1=2，可利用同角的余角相等证明解答：解：PEAC于E，PFBC于F，ACB=90，CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），OP=OF，PEF+3=90，1=3，PGEF，PEF+2=90，2=3，1=2，ABC是等腰直角三角形，A=ABC=45，APE=BPF=45，APE+2=BPF+1，即APG=CPB，BPD=APG，BPD=CPB，又PC=PD，PB是公共边，PBCPBD（SAS），BC=BD，PBC=PBD=45，PBC+PBD=90，即BCBD故证得：BCBD，且BC=BD8.如图1，在ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作APCD，
11、AC与PD相交于点E，已知ABC=AEP=（090）.（1）求证：EAP=EPA；（2）APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到MEN（点M、N分别是MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCEP图2ABDCEPMNF【答案】(1)证明：在ABC和AEP中ABC=AEP，BAC=EAP ACB=APE在ABC中，AB=BCACB=BAC EPA=EAP(2) 答： APCD是矩形四边形APCD是平行四边形 AC=2EA, PD=2EP 由（1）知 EPA=EAP E
12、A=EP则 AC=PDAPCD是矩形(3) 答： EM=EN EA=EP EPA=90 EAM=180-EPA=180-(90- )=90+ 由（2）知CPB=90,F是BC的中点， FP=FBFPB=ABC= EPN=EPA+APN=EPA+FPB=90- +=90+ EAM=EPN AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到MEN AEP=MEN AEP- AEN=MEN-AEN 即 MEA=NEP四边形1如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，求PD的长2如图，ABCD中，ABC=75，AFBC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求AED的大小3在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=4如图，在ADC中
