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1、1 三度、三定理三度、三定理 1. 标量场、梯度 2. 矢量的通量、散度散度散度散度散度散度散度散度、高斯定理 3. 矢量的环流、旋度旋度旋度旋度旋度旋度旋度旋度、斯托克斯定理 4. 亥姆霍兹定理 “ “ “ “ “ “ “ “三度三度三度三度三度三度三度三度” ” ” ” ” ” ” ”、“ “ “ “ “ “ “ “三定理三定理三定理三定理三定理三定理三定理三定理” ” ” ” ” ” ” ” 2 1. 1. 标量场、梯度标量场、梯度 标量场在空间的分布和变化规律 等值面，方向导数，梯度 标量场可以用一个标量函数表示： )(),(ruzyxuu v = 等值面 Cruzyxuu=)(),(
2、 v 等值面等值面等值面等值面 b a c d 等值面? 3 如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场 中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量 函数函数函数函数函数函数函数函数U U沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方 向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？ 方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：标量函数在给
3、定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率 方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数 l l l l U U U U 4 0 coscoscos uuuu lxyz G l =+ = vv 方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数 l l l l U U U U l l l l MM
4、MMu u u uMMMMu u u u l l l l u u u u l l l l MMMM = = = = ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x o o o o z z z z ) ) ) ), , , , , , ,( ( ( ( 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 z z z zy y y yx x x xMMMM ) ) ) ), , , , , , ,( ( ( ( 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 z z z zz z z zy y y
5、 yy y y yx x x xx x x xMMMM + + + + + + + + + + + + x x x x y y y y z z z z l l l l ) ) ) )coscoscoscos, , , ,coscoscoscos, , , ,(cos(cos(cos(cos: : : : 0 0 0 0 l l l ll l l l vv z z z z e e e e r x x x x e e e e r y y y y e e e e r y y y y max | u G l = v xyz uuu graduGeee xyz =+ v vvv 5 标量的标量的“ “梯
6、度梯度” ” ？“ “ “ “爬山爬山爬山爬山” ” ” ” 同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡” ” ” ”？ 梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度是表示是表示是表示是表示是表示是表示是表示是表示标量标量标量标量标量标量标量标量最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量。 gradUU= Gr
7、adientGradientGradientGradientgradgradgradgrad 方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向 标量函数对距离的标量函数对距离的标量函数对距离的标量函数对距离的 变化率最大？变化率最大？变化率最大？变化率最大？ 哈密顿算符：哈密顿算符：哈密顿算符：哈密顿算符：HamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonian xyz eee xyz =+ vvv 6 不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同
8、坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下 的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示 柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中： z e y e x e zyx + + = vvv 直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中： 球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中： + + = sin 11 R a R a R aR rrr z e r e r e zr + + = vvv 1 7 如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆 ？ dzadyadxal d zyx rrr r += 直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系
9、：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系： dl d z a y a x a zyx + + = rrr ?= l d r 8 柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系： dzadradral d zr rrr r +=)( z a r a r a zr + + = rrr 1 dl d ?=l d r 9 球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系： )sin()( dRadRadRal d R += rrr r + + = sin 11 R a R a R aR rrr dl d
10、?=l d r 10 不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下 的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示 柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中： z u e y u e x u eu zyx + + = vvv 直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中： 球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中： + + = u R a u R a R u au R sin 11rrr z u e u r e r u eu zr + + = vvv 1 U 11 例题例题例题例题例题例题例题例题 已知：已知：
11、已知：已知：cos),( 0 =RVRVV 求：求：求：求：求：求：求：求： 令：令：令：令：令：令：令：令： VE= r ?=E r 直接法直接法直接法直接法直接法直接法直接法直接法球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！ + + = sin 11 R a R a R aR rrr ?=VE r ?= sincos 00 VeVeVE R rr v += 12 例题例题例题例题例题例题例题例题 距离矢量 ，求标量场 的梯度 R R R R 1 1 1 1 ) ) ) ) 1 1 1 1 (
12、 ( ( ( R R R R r r r rr r r rR R R R vv v = = = = 13 源点与场点源点与场点 源点： 场点： ),(zyx r r rr R R 源点源点 场点场点 O O ),(zyx 14 例题例题例题例题例题例题例题例题 距离矢量 ，求标量场 的梯度 R 1 ) 1 ( R rrR vv v = z u e y u e x u eu zyx + + = vvv ?=u )()()(zzeyyexxerrR zyx += vv v 2 0 3 ) 1 ( R R R R R vv = 0 R v r r r rr r r rR R R R vv v = =
13、 = =是 是是是 单位矢量单位矢量单位矢量单位矢量 15 特例特例 11 (),()? RR 11 ()() RR = 16 2.2.2.2.2.2.2.2.矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度 矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线-线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一
14、点的切线方向与该点矢量场的方 向相同向相同向相同向相同向相同向相同向相同向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小 0Fdl= vv 17 2.2.2.2.2.2.2.2.矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度 矢量矢量 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 的面积分的面积分 A v S v 矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量在某一在某一有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面的的面积分面积分面积分面积分面积分面积分面积分面积分称为称为通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通量通量通量通量通量通量通量通量。 cos n ss A dSA e dSAdS = vvv v 通量通量(
