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1、 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 Page 1 of 3 微积分 B(1)第一次习题课题目（第二周） 微积分 B(1)第一次习题课题目（第二周） 一、集合的上下界、确界 1证明 1） 2 1 y x =在定义域内有下界，无上界； 2）设0 ，则 2 1 y x =在(, ,) +U上有界。 （思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？） 2.设,A B均是非空有界数集，定义+ + |,A Bx y xA yB=。证明： （1）inf()infinfABAB+=+； （2）sup()supsupABAB+=+ 3.设,A B均是由非负实数构成的有界数集，定义|,ABxy xA yB
2、=。证明： （1）infinfinfABAB=； （2）supsupsupABAB= 二、函数及其性质 41）设 x exf=)(，且xxf=1)(，求函数)(x的定义域 2）设函数)(xf的定义域为 1 , 0，求函数 )cos1 (1)(sin1)(xfxxfxxg+=的定义域 51）设 1 ( )(2,3) 2 f xxx x = 且，求( ( ),( ( ( )f f xff f x 2）设xxxf+=)(， = 0 0 )( 2 xx xx xg，求)(),(xfgxgf 61）已知函数( )f x定义域为R如果对于任意x都有()()f axf bx+=，那么( )f x的 图像有什
3、么性质？ 2） 已知函数( )f x， 请说明函数()f ax+的图像与函数()f bx的图像关于哪条直线对称。 7已知函数)(xf的定义域为),(+，且)(xf的图像关于直线ax =与bx =对称， )(ba x时，有 0)(b， 解关于x的不等式： 22 11 ()( )()( ) 22 f bxf xf b xf b 9(1) 函数) 1(21)(+=xxxf的反函数是 （2）若点) 3 , 4(既在函数baxy+=1的图像上，又在它的反函数的图像上，求函数 的解析式 （3）若 2 (1)23(1)f xxxx=+，求 1(4) f 等于 (4) 已知函数)(xfy =存在反函数，那么与
4、函数)(xfy =的反函数图像关于原点对称 的图像所对应的函数表达式为 . (5)函数 33 ( ),() 232 x f xx x = ，若) 1( +=xfy的图像是 1 C，它关于直线 y=x 对称图 像 是 22,C C关 于 原 点 对 称 的 图 像 为 33, CC 则对 应 的 函 数 解 析 式 是 _ 10.试写出一个从0,1到(0,1)的一一对应映射 三、不等式 111）试证明Cauchy不等式：(1,2,),(1,2,) ii a in b in=LL为两组实数，求证： 2222222 1 1221212 ()()() nnnn a ba ba baaabbb+LLL
5、并考虑取得等号的条件 2）证明： 222 1212 12 ,0, nn n aaaaaa a aa nn + LL L有: 12利用导数与单调性的关系证明：当0x 时，有ln(1) 1 x xx x ，则 2 1 y x =在(, ,) +U上有界。 （思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？） 证明：1） 2 1 0 x ，因此 2 1 y x =有下界。 0G，取 1 2 G x G =，得到 2 1 4 G G yGG x =，因此 2 1 y x =无上界。 2）0 ，当(, ,)x +U时，有 22 11 0 x ，使 得, 22 xayb ， 对 于 ab + ,xA yB 使 得
6、 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 Page 2 of 12 ,xayb abab + ，因此 2 ()()()()x yabababab abababab =+ + 即supsupsupABabAB=。 注 ： （ 1 ） 的 证 明 中 ， 也 要 用 到 类 似 “0 ， 对 于 ab + ,xA yB 使 得 ,xayb abab + ”的技巧。 二、函数及其性质 41）设 x exf=)(，且xxf=1)(，求函数)(x的定义域 2）设函数)(xf的定义域为 1 , 0，求函数 )cos1 (1)(sin1)(xfxxfxxg+=的定义域 解: 1）由 x exf=)(
7、，得到.1)( )( xexf x = 因此)1ln()(xx=所以)(x的定 义域为(,1) 2）由f的定义域为 1 , 0，得到 10 10 sin0,1 cos 1,0 x x x x + 。解得 1 ,1 1 2 xU. 51）设 1 ( )(2,3) 2 f xxx x = 且，求( ( ),( ( ( )f f xff f x 2）设xxxf+=)(， = 0 0 )( 2 xx xx xg，求)(),(xfgxgf 解：1） 1123 5 ( ( )(2,3, ) 1 2( )322 3 2 2 x f f xx f xx x = 1323 5 4 7 ( ( ( )(2,3,
8、) 2( ( )432 3 3 5 x f f f xx f f xx = 2） 2 2 ( )( )020 ( ( )( ) |( )| 0( )000 g xg xxx f g xg xg x g xx =+= 证 明 ： 1 ） 当0= yx时 ， 有)0(2)0(ff=， 所 以0)0(=f。 当xy=时 ， 有 )()()0(xfxff+=，所以)()(xfxf=，即)(xf为奇函数。 解：2）先考察)(xf的单调性。)(, 2121 xxRxx LL L有: 证明:1） a)如果(1,2,) i a in=L全部为零，那么左右两端恒等，不等式显然成立 b)假设(1,2,) i a
9、in=L中至少有一个不为零，构造函数 222 1122 ( )()()() nn f xa xba xba xb=+L 整理得， 2222222 121 12 212 ( )()2()() nnnn f xaaaxaba ba b xbbb=+LLL 这是一个关于x的二次函数由f的定义，对于任意的x，均有( )0f x ，因此0 ，即 2222222 1 1221212 ()()() nnnn a ba ba baaabbb+LLL 下面考虑取等条件：如果取等，即0 =，那么抛物线与x轴相切设切点坐标为 0 (,0)x， 所以有 0 ()0f x=， 因此有 1012020 0 nn a xb
10、a xba xb+=+=+=L， 所以我们得到, ii a b两 组实数对应成比例反之，如果这两组实数对应成比例，易证 2222222 1 1221212 ()()() nnnn a ba ba baaabbb+=+LLL 因此，取得等号的充分必要条件是, ii a b两组实数对应成比例 2） 11 1 , nn iii a n = 为两组数，由Cauchy不等式有， 2222 1212 222 111111 ()()() nn aaaaaa nnnnnn +LLL 即 222 2 1212 () nn aaaaaa nn + LL ， 由 于 12 ,0 n a aa L， 因 此 有 22
11、2 1212nn aaaaaa nn + LL 。 12利用导数与单调性的关系证明：当0x 时，有ln(1) 1 x xx x =，即ln(1) 1 x x x + + 。 四、数学归纳法（第一数学归纳法、第二数学归纳法、归纳，猜想，证明） 13 （Bernoulli 不等式）证明对于任意的正整数n，(1)1,1 n xnxx+ + 证明：当1n =时，命题显然成立。假设(1)nk k=命题成立，即(1)1 k xkx+ +；当 1nk=+时，由于10x+，因此有 12 (1)(1) (1)(1)(1)1(1)1(1) kk xxxkxxkxkxkx + +=+= + +。 14数列 n a中
12、， 22 112 2tan ,sincos nnn aaaa + =+，并且lim0 n n a = (1)求证: 2222 211 sincossincos nn aaaa + +=+ (2) 求的范围，使得当n趋于正无穷时， n a的部分和 n S存在极限。 证明：(1)用第一数学归纳法证明 当1n =时 ， 命 题 显 然 成 立 ； 假 设 当(1)nk k=时 命 题 成 立 ， 即 2222 211 sincossincos kk aaaa + +=+，当1nk=+时， 222222 12111 2222 1112 sincossin(sincossin) sinsinsincos
13、 kkkk kkk aaaaaa aaaaa + + +=+ =+=+ 即当1nk=+时，命题也成立。所以对一般的正整数n，均有 2222 211 sincossincos nn aaaa + +=+ 解: (2) 注意到lim0 n n a =，在 2222 211 sincossincos nn aaaa + +=+两边令n趋于 正 无 穷 时 ， 得 到 22 21 cossinaa=。 由 1 2tana=， 得 3 2 2tana=。 再 由 22 213 sincosaaa=+，计算出 5 3 2tana=。 猜想 21 2tan n n a =。证明：当1n =时命题成立，假设当
14、(1)nk k=时命题成立，即 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 Page 8 of 12 21 2tan k k a =，当1nk=+时 222 121 2 21232221 2 1 sincossin cos 1 2tansin2tancos2tansin2tan cos kk kk aaaa + + =+ =+= ， 即当1nk=+时，命题也成立。所以 21 2tan n n a =。 此时有 321 12 2(tantantan) n nn Saaa =+=+LL 如 果 当n趋 于 正 无 穷 时 , n S存 在 极 限 , 那 么 当 且 仅 当 2 tan1 ， 解 得 () 44 kkk 的顶点O作两条相互垂直的弦,OA OB设OA的斜率为k， 用k表示出,A B两点的坐标并求AB中点的轨迹方程 解：A点坐标满足： 2 2 ykx ypx = = ，解得 2 22 (,) pp A kk ； B点坐标满足： 2 1 2 yx k ypx = = ，解得 2 (2, 2)Bpkpk AB中点的坐标 00 (,
