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1、 1 三角形结构中的一个解题系统三角形结构中的一个解题系统 陶平生陶平生 在初等不等式的范围内，有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题， 传统的做法通常是“化杂为弦” ，并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来 解证。由于其变元受三角形条件约束，处理起来不甚方便。 以下从一个基本等式出发，导出相应的运算系统，利用“易弦为切” 的方法以及这一 系统的特殊转换结构，可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。 一、三角形中的一个运算系统一、三角形中的一个运算系统 以下常设，x=cot A，y=cot B，z=cotC（或者 x=tan 2 A ，y=tan 2 B
2、 ，z=tan 2 C ） ，其 中 A、B、C 为三角形的三个内角，则有： 1.1）x，y，z 中至少有二个正数，并且 x+y、y+z、x+z 及 x+y+z 都是正数。 事实上，当 x，y，z 表示半角的正切函数时，显然 x，y，z 都是正数。今考虑 x，y，z 表示余切函数的情形，由于三角形中至少有二个锐角，即 x，y，z 中至少有二个正数，并且 x+y=cot A +cotB= cos sin A A + cos sin B B = sin() sinsin AB AB 0。同理有 y+z0，x+z0。又将这三式相 加得 x+y+z0。 1.2）1xyyzxz 这是由于， 在三角形 A
3、BC 中成立等式cot A cotB + cot BcotC+cot AcotC=1，以 及tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C +tan 2 A tan 2 C =1。 1.3） 2 1()()xxy xz， 2 1()()yxy yz， 2 1()()zxz yz 这只要将右端展开，并利用（1.2）式立即可得。 1.4） 222 (1)(1)(1)()()()xyzxyyz xz； 222 ()(1)()(1)()(1)()()()xyzyzxxzyxy yz xz； 22 2 (1)(1) 1 xy xy z ， 22 2 (1)(1) 1 yz yz x
4、， 22 2 (1)(1) 1 xz xz y 。 这只要利用（1.3）式立即可得。 1.5） 1111 xyzxyz （当0xyz ） 只需将左端通分，并利用（1.2）式即可得到。 2 1.6）()()()xyyz xzxyzxyz。 事实上， 2 ()()()()(1)()xy yz xzxyzxyxzyz z (1)xyxy zxyzxyz 1.7） 222 1112() 111()()() xyz xyzxy yz xz ； 222 2 111()()() xyz xyzxy yz xz ； 222 222 2 1 111()()() xyzxyz xyzxyyz xz 。 事实上，
5、222 111111 111()()()()()()xyzxy xzxy yzxz yz 2() ()()() xyz xy yz xz ， 而 222 111()()()()()() xyzxyz xyzxy xzxy yzxz yz ()()()2 ()()()()()() x yzy zxz xy xy yz xzxy yz xz 又 222 222222 111 (1)(1)(1) 111111 xyz xyzxyz = 2()2()2 33 ()()()()()()()()() xyzxyzxyzxyz xy yz xzxy yz xzxy yz xz = 2 1 ()()() xy
6、z xy yz xz 。 就本质而言，三角形中的所有恒等关系，皆可转化为这类代数关系，我们可根据实际 需要，列出更多的等式. 由于这组等式分别具有升幂降幂，化解根式，调整转换诸功能，使得将它们用于解证 三角形中一类不等式时，显得十分有力。 在解证不等式的过程中，最为重要的是应当进行充分的等价变形，尽量减少不等价变 形，而对于必需的不等价变形，应尽可能在小范围和局部进行. 三角系统中的恒等关系，在处理这类等价变形时，显得十分灵活、简便. 3 二、若干基本不等式二、若干基本不等式 下面的一组不等式，对于 x，y，z 表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解 证其它不等式时，通常可化归为这些情形
7、。 2.1） 222 1xyz 证： 222 1xyzxyyzzx 2.2）3xyz 证：由于 2222 2()3xyzxyzxyyzxz（），且xyz为正数，故 3xyz。 2.3）9xyzxyz 证：如果 x，y，z 中只有二个正数，则90xyz ，而0xyz，此时结论显然； 如 x，y，z 都是正数，则因1xyyzxz，故 111 9 xyyzxz ，则有9xyzxyz 2.4） 3 9 xyz 证：如果 x，y，z 中只有二个正数，则结论显然；当 x，y，z 都为正数时，由于 2 3 13 ()xyyzxzxyz，所以 13 279 xyz 2.5） 8 ()()()() 9 xy x
8、zyzxyz 证：()()()xy xzyzxyzxyz 818 ()(9)()xyzxyzxyzxyz 以上诸式中，等号成立的充要条件是 3 3 xyz，即ABC为正三角形。 三、三角形中一些常规不等式的证明三、三角形中一些常规不等式的证明 在ABC中，若记 x=tan 2 A ，y=tan 2 B ，z=tan 2 C ，则有 2 2 sin 1 x A x ， 2 2 1 cos 1 x A x 2 sin 2 1 Ax x ， 2 1 cos 2 1 A x 等等（若记 x=cot A，y=cot B， 4 z=cotC，则 2 1 sin 1 A x ， 2 cos 1 x A x
9、，等等） 。 我们注意到，采用“易弦为切”后，上述各式的分母均具有形如 2 1x的结构，而给出 的运算系统对于破解和处理这类结构非常有效。下面通过一组例子，来说明采用上述系统 解证不等式的一般方法。 例 1 在ABC中，证明下列不等式： 1） 1 sinsinsin 2228 ABC 2） 3 sinsinsin 2222 ABC 3） 3 3 sinsinsin 2 ABC 4） 111 2 3 sinsinsinABC 证：设 x=tan 2 A ，y=tan 2 B ，z=tan 2 C ，则 1） 222 sinsinsin 222 (1)(1)(1) ABCxyz xyz = 1 (
10、)()()8222 xyzxyz xy xzyzxyyzzx 2） 222 sinsinsin 222 111 ABCxyz xyz = xxyyzz xyxzxyyzxzyz 13 ()()() 22 xxyyzz xyxzxyyzxzyz 3） 222 2224 sinsinsin 111()()() xyz ABC xyzxy yz xz 443 3 88 2 ()3 99 xyz 4） 222 1111111 111 () sinsinsin2222 xyz xyz ABCxyzxyz 5 = 1119 ()(3)2 3 223 xyz xyz 例 2 在ABC中，证明： 1） 2 3
11、 cotcotcot3cotcotcot 3 ABCABC 2） 3 3 sinsinsin 8 ABC 3） 222 9 sinsinsin 4 ABC 证：设 x=cot A，y=cot B，z=cotC，则： 1）cotcotcot3cotcotcot3ABCABCxyzxyz = 2122 3 ()(9)() 3333 xyzxyzxyzxyz 2） 222 11 sinsinsin ()()() (1(1(1 ABC xy yz xz xyz ） 113 3 88 8 ()3 99 xyz 3） 222 222 1112() sinsinsin 111()()() xyz ABC x
12、yzxy yz xz 2()9 8 4 () 9 xyz xyz 例 3 在ABC中，证明： 1 tantantan(secsecsec) 2222222 ABCABC 证：令 x=tan 2 A ，y=tan 2 B ，z=tan 2 C ，即要证： 222 1 ( 111) 2 xyzxyz，而 222 1 ( 111) 2 xyz 1 ( ()()()()()() 2 xy xzxyyzxzyz 6 1 ()()()()()() 4 xyxzxyyzxzyz xyz，故得证。 例 4ABC的外接圆半径为 R，面积为，证明 2 9 tantantan 2224 ABCR 证：由于 2 2s
13、insinsinRABC ，即要证 9 tantantan 2228sinsinsin ABC ABC 令 x=tan 2 A ，y=tan 2 B ，z=tan 2 C ，即要证 222 9 111 8222 xyz xyz xyz ， 也即 264 ()()()() 9 xyyz xzxyz xyz 因为()()()8xyyz xzxyz， 8 ()()()() 9 xyyz xzxyz 相乘得式成立，从而命题得证。 例 5. （Weitzenbck 不等式）ABC的边长为 a，b，c，面积为，证明 222 4 3abc 证：由于2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC， 2
14、2sinsinsinRABC ， 即要证 222 sinsinsin2 3sinsinsinABCABC。 令 x=cot A，y=cot B，z=cotC， 即要证 222 222 1112 3 111 111 xyz xyz ， 也即 2()2 3 ()()()()()() xyz xyyz xzxyyz xz ， 因此只要证3xyz， 此为显然。 例 6设zyxcba,为正数，满足：caybxbcxazabzcy,试求函数 z z y y x x zyxf 111 , 222 的最小值。 （2005 年全国联赛试题） 解：由条件得，0)()()(abzcyacaybxcbcxazb 即： bc acb xcbabcx 2 , 02 222 222 同理得， ac bca y 2 222 ， 222 ,
