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1、 1 三角形结构中的一个解题系统三角形结构中的一个解题系统 陶平生陶平生 在初等不等式的范围内,有许多是涉及三角形内角函数关系的不等式。对于这类问题, 传统的做法通常是“化杂为弦” ,并借助正余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关系来 解证。由于其变元受三角形条件约束,处理起来不甚方便。 以下从一个基本等式出发,导出相应的运算系统,利用“易弦为切” 的方法以及这一 系统的特殊转换结构,可以简便而有效地处理一系列三角形有关不等式的解证问题。 一、三角形中的一个运算系统一、三角形中的一个运算系统 以下常设,x=cot A,y=cot B,z=cotC(或者 x=tan 2 A ,y=tan 2 B
2、 ,z=tan 2 C ) ,其 中 A、B、C 为三角形的三个内角,则有: 1.1)x,y,z 中至少有二个正数,并且 x+y、y+z、x+z 及 x+y+z 都是正数。 事实上,当 x,y,z 表示半角的正切函数时,显然 x,y,z 都是正数。今考虑 x,y,z 表示余切函数的情形,由于三角形中至少有二个锐角,即 x,y,z 中至少有二个正数,并且 x+y=cot A +cotB= cos sin A A + cos sin B B = sin() sinsin AB AB 0。同理有 y+z0,x+z0。又将这三式相 加得 x+y+z0。 1.2)1xyyzxz 这是由于, 在三角形 A
3、BC 中成立等式cot A cotB + cot BcotC+cot AcotC=1,以 及tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C +tan 2 A tan 2 C =1。 1.3) 2 1()()xxy xz, 2 1()()yxy yz, 2 1()()zxz yz 这只要将右端展开,并利用(1.2)式立即可得。 1.4) 222 (1)(1)(1)()()()xyzxyyz xz; 222 ()(1)()(1)()(1)()()()xyzyzxxzyxy yz xz; 22 2 (1)(1) 1 xy xy z , 22 2 (1)(1) 1 yz yz x
4、, 22 2 (1)(1) 1 xz xz y 。 这只要利用(1.3)式立即可得。 1.5) 1111 xyzxyz (当0xyz ) 只需将左端通分,并利用(1.2)式即可得到。 2 1.6)()()()xyyz xzxyzxyz。 事实上, 2 ()()()()(1)()xy yz xzxyzxyxzyz z (1)xyxy zxyzxyz 1.7) 222 1112() 111()()() xyz xyzxy yz xz ; 222 2 111()()() xyz xyzxy yz xz ; 222 222 2 1 111()()() xyzxyz xyzxyyz xz 。 事实上,
5、222 111111 111()()()()()()xyzxy xzxy yzxz yz 2() ()()() xyz xy yz xz , 而 222 111()()()()()() xyzxyz xyzxy xzxy yzxz yz ()()()2 ()()()()()() x yzy zxz xy xy yz xzxy yz xz 又 222 222222 111 (1)(1)(1) 111111 xyz xyzxyz = 2()2()2 33 ()()()()()()()()() xyzxyzxyzxyz xy yz xzxy yz xzxy yz xz = 2 1 ()()() xy
6、z xy yz xz 。 就本质而言,三角形中的所有恒等关系,皆可转化为这类代数关系,我们可根据实际 需要,列出更多的等式. 由于这组等式分别具有升幂降幂,化解根式,调整转换诸功能,使得将它们用于解证 三角形中一类不等式时,显得十分有力。 在解证不等式的过程中,最为重要的是应当进行充分的等价变形,尽量减少不等价变 形,而对于必需的不等价变形,应尽可能在小范围和局部进行. 三角系统中的恒等关系,在处理这类等价变形时,显得十分灵活、简便. 3 二、若干基本不等式二、若干基本不等式 下面的一组不等式,对于 x,y,z 表示余切函数或半角的正切函数时均为适用。在解 证其它不等式时,通常可化归为这些情形
7、。 2.1) 222 1xyz 证: 222 1xyzxyyzzx 2.2)3xyz 证:由于 2222 2()3xyzxyzxyyzxz(),且xyz为正数,故 3xyz。 2.3)9xyzxyz 证:如果 x,y,z 中只有二个正数,则90xyz ,而0xyz,此时结论显然; 如 x,y,z 都是正数,则因1xyyzxz,故 111 9 xyyzxz ,则有9xyzxyz 2.4) 3 9 xyz 证:如果 x,y,z 中只有二个正数,则结论显然;当 x,y,z 都为正数时,由于 2 3 13 ()xyyzxzxyz,所以 13 279 xyz 2.5) 8 ()()()() 9 xy x
8、zyzxyz 证:()()()xy xzyzxyzxyz 818 ()(9)()xyzxyzxyzxyz 以上诸式中,等号成立的充要条件是 3 3 xyz,即ABC为正三角形。 三、三角形中一些常规不等式的证明三、三角形中一些常规不等式的证明 在ABC中,若记 x=tan 2 A ,y=tan 2 B ,z=tan 2 C ,则有 2 2 sin 1 x A x , 2 2 1 cos 1 x A x 2 sin 2 1 Ax x , 2 1 cos 2 1 A x 等等(若记 x=cot A,y=cot B, 4 z=cotC,则 2 1 sin 1 A x , 2 cos 1 x A x
9、,等等) 。 我们注意到,采用“易弦为切”后,上述各式的分母均具有形如 2 1x的结构,而给出 的运算系统对于破解和处理这类结构非常有效。下面通过一组例子,来说明采用上述系统 解证不等式的一般方法。 例 1 在ABC中,证明下列不等式: 1) 1 sinsinsin 2228 ABC 2) 3 sinsinsin 2222 ABC 3) 3 3 sinsinsin 2 ABC 4) 111 2 3 sinsinsinABC 证:设 x=tan 2 A ,y=tan 2 B ,z=tan 2 C ,则 1) 222 sinsinsin 222 (1)(1)(1) ABCxyz xyz = 1 (
10、)()()8222 xyzxyz xy xzyzxyyzzx 2) 222 sinsinsin 222 111 ABCxyz xyz = xxyyzz xyxzxyyzxzyz 13 ()()() 22 xxyyzz xyxzxyyzxzyz 3) 222 2224 sinsinsin 111()()() xyz ABC xyzxy yz xz 443 3 88 2 ()3 99 xyz 4) 222 1111111 111 () sinsinsin2222 xyz xyz ABCxyzxyz 5 = 1119 ()(3)2 3 223 xyz xyz 例 2 在ABC中,证明: 1) 2 3
11、 cotcotcot3cotcotcot 3 ABCABC 2) 3 3 sinsinsin 8 ABC 3) 222 9 sinsinsin 4 ABC 证:设 x=cot A,y=cot B,z=cotC,则: 1)cotcotcot3cotcotcot3ABCABCxyzxyz = 2122 3 ()(9)() 3333 xyzxyzxyzxyz 2) 222 11 sinsinsin ()()() (1(1(1 ABC xy yz xz xyz ) 113 3 88 8 ()3 99 xyz 3) 222 222 1112() sinsinsin 111()()() xyz ABC x
12、yzxy yz xz 2()9 8 4 () 9 xyz xyz 例 3 在ABC中,证明: 1 tantantan(secsecsec) 2222222 ABCABC 证:令 x=tan 2 A ,y=tan 2 B ,z=tan 2 C ,即要证: 222 1 ( 111) 2 xyzxyz,而 222 1 ( 111) 2 xyz 1 ( ()()()()()() 2 xy xzxyyzxzyz 6 1 ()()()()()() 4 xyxzxyyzxzyz xyz,故得证。 例 4ABC的外接圆半径为 R,面积为,证明 2 9 tantantan 2224 ABCR 证:由于 2 2s
13、insinsinRABC ,即要证 9 tantantan 2228sinsinsin ABC ABC 令 x=tan 2 A ,y=tan 2 B ,z=tan 2 C ,即要证 222 9 111 8222 xyz xyz xyz , 也即 264 ()()()() 9 xyyz xzxyz xyz 因为()()()8xyyz xzxyz, 8 ()()()() 9 xyyz xzxyz 相乘得式成立,从而命题得证。 例 5. (Weitzenbck 不等式)ABC的边长为 a,b,c,面积为,证明 222 4 3abc 证:由于2 sinaRA,2 sinbRB,2 sincRC, 2
14、2sinsinsinRABC , 即要证 222 sinsinsin2 3sinsinsinABCABC。 令 x=cot A,y=cot B,z=cotC, 即要证 222 222 1112 3 111 111 xyz xyz , 也即 2()2 3 ()()()()()() xyz xyyz xzxyyz xz , 因此只要证3xyz, 此为显然。 例 6设zyxcba,为正数,满足:caybxbcxazabzcy,试求函数 z z y y x x zyxf 111 , 222 的最小值。 (2005 年全国联赛试题) 解:由条件得,0)()()(abzcyacaybxcbcxazb 即: bc acb xcbabcx 2 , 02 222 222 同理得, ac bca y 2 222 , 222 ,