3——第2章金融工程的基本分析方法——状态价格定价法资料

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1、2019/9/25,1,金融工程的基本分析方法,2.1 无套利定价法,定义2.1：套利是同时持有一种或者多种资产的多头或者空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。 两种套利方法： 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为正） 当前时候一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。,无套利原则：如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。 注意：无套利并不需要市场参与的者一致行动，实际上只要少量的理性投资者可以使市场无套利。 在有效的金融市场上，市场不存在套利均衡。,案例 2-1,假设现在6个月即期年利率为10

2、%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？ 答案是肯定的。,2019/9/25,5,回顾：连续复利的概念 若名义利率为r，一年（期）平均付息m次，则相应的有效利率rm为,后者为连续复利，如果是T年（期），则,套利过程是： 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元） 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。 1年后收回1年期贷款，得本息1

3、127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。 这是哪一种套利？,先看远期外汇定价的例子 目前货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1 美元兑换1.8马克 (1:1.8) 问：一年期的远期汇率是否还是1:1.8？,无套利的定价法的原理：,套利者可以借入1美元，一年后要归还1.06美元； 在即期市场上，他用借来的1美元兑换成1.8马克存放一年，到期可以得到1.98马克； 在远期市场上套利者在购买1.8马克同时按照目前的远期汇率（1:1.8）卖出1.

4、98马克，换回1.1美元。 在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元之外，还有一个剩余0.04美元（1.1美元-1.06美元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇价格。,无套利的价格,无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。,套利者借入1美元后，如果不进行套利活动，他一年后将得到1.06美元；如果他实施了套利活动，他一年后将得到1.98马克。这两种情况都是从期初的1美元现金流出开始，到期末时两个现金流入

5、的价值也必须相等。于是1.06美元=1.98马克，即1美元=1.8679马克。这个价格才是无套利的均衡价格。,无套利的定价法的原理： 无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。 如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制 如果A资产（组合）的风险与B资产（组合）完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断B的收益，从而得到B的资产的定价。,案例2-2 无套利定价法运用到期权定价中,假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。 假设现在的无风险年利率等于10%， 问题：求一份3个月

6、期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,为了找出该期权的价值， 可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。 若股票价格=11，则该期权执行，则组合收益为11 -0.5 若股票价格=9，则该期权不执行，则组合收益为9 为了使该组合在期权到期时无风险，必须满足下式： 11 -0.59 ，即 =0.25 组合价值为2.25元,由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足,根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为,无套利定价机制的主要特征,无套利定价原则要

7、求套利活动必须在无风险状态下进行 在一个不存在套利机会的有效市场上，投资者可以建立起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产（比如股票）头寸的无风险的资产组合。 若数量适当，基础资产多头盈利（或亏损）就会与衍生品的空头亏损（或盈利）相抵，因此在短期内该组合是无风险的（理论上只对瞬间的时刻保持无风险，否则，需要在这个资产组合中持续地调整基础证券与衍生证券的投资比例）。 根据无套利原则，无风险组合的收益率必须等于无风险利率。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均衡条件,无套利定价法的应用,金融工具的模仿（mimicking ） 即通过构建一个资

8、产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。 注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。 金融工具的合成（compound） 即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同价值。 合成是建立在模仿的基础上,案例2-3：模仿股票（the mimicking stock),模仿股票：一个看涨期权多头和一个看跌期权的空头的组合。 假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，两个期权的执行价格都是XSt（t 时刻股票的价格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为,股票,模仿股票,模仿股票与实际股票有所区别！,表面上看，持有模仿股票似乎不合算 但下面的例子表明，模仿

9、股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型的投资者提供了一个性质不同的投资渠道 假设一只股票现在的市场价格是10元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是0.55元和0.45元。 一个投资者用10元钱采取两种方案进行投资 方案一直接在股票市场上购买股票 方案二是用同样的资金购买模仿股票 10元钱可以购买100个模仿股票,股票价格上升到10.5元时两个方案的比较 股票价格下跌到9.5元时两个方案的比较,案例2-4 合成股票（compound stock）,合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头、无风险债券多头Xe-r(T-t) ,实际是模仿股票和无风险债券的合成

10、目的：消除模拟股票与股票之间的差异 则组合的最终价值为 max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST 期初价值应相等： St=Ct-pt+ Xe-r(T-t),2.2 风险中性定价法,无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风险资产的收益具有随机性各种状态的出现具有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。 启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率超额收益率为0。 风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。,风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为

11、假定 由于风险中性，人们只关心收益不考虑风险 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。,案例2-2风险中性定价法运用到期权定价中,假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。（虽然有实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是,同

12、样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为,两种方法求得结果是等价风险中性定价本质上仍是无套利定价。,比较两种定价方法,假设一个无红利支付的股票，当前时刻t，股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su（u1），或者下降到Sd（1d0）。 当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。,总结：无套利定价法的思路,首先，构造由股股票多头和一个看涨期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的值。,如果无风险利率为r，则该无风险组合的现

13、值为,在无套利假定下，构造组合的成本满足,将（2.1）代入（2.2）整理得到,总结：风险中性定价的思路,假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：,由上式可见，期权价值只与无风险利率、股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而不依赖于股票上涨的实际概率。这完全违反直觉！ 期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌），但未来上升和下跌的概率已经包含在股票的价格中！,2.3 状态价格定价技术,状态价格的定义：指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。 状态价格定价技术：如果未来时刻有N种状态，而这N

14、种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价。 该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体运用。,A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA (d1+rf=RAu) 这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q）,状态价格定价技术的原理 案例 2-5,1、构造两个基本证券（单位证券）。 基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券1现在的市场价格是u， 基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券2的价格是d。 u

15、和d分别被称为上升状态的价格和下降状态的价格 这两个基本证券的特征是，它们可以用来复制有风险的A证券,2、由基本证券模拟证券A。 购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一个假想的证券组合,根据无套利假设,由此可见，该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流，所以组合是证券A的复制品。 根据无套利原理，复制品与被复制对象的市场价格应该相等，即 PA=uuPA+ddPA 或者1 uu+dd （2.3）,3、证明：在T时刻无论出现什么状态，各1个单位(uPA= dPA=1)基本证券构成的组合的回报都是1元。,因此，该组合是无风险的，它只能获得无风险收益率，若无风险收益率为

16、r，则,（2.4）,所以由（2.3）和（2.4）联立得到,1=uu+dd,决定基本证券价格的实际上就是3个因素：无风险利率r,金融工具价格上升的速度u和其价格下降的速度d，同其他的因素就没有关系了,结论： 只要有具备上述性质的两个基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。 扩展二叉数模型。 关于有价证券的价格上升的概率q，虽依赖于人们作出的主观判断，但是人们对q认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。 无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。,练习,假设有价证券的市场情况如下：PA100，r2，u1.07，d0.98，Tt1，若另外有一个证券B，其价格1年后可能上升为103，也可能下降为98.5元，求该证券的合理价格。 提示：先求基本证券1和2，由基本证券来复制证券B：uPB份的基本证券1和dPB份的基本证券2。,具体例子1：用基本证券1和2来复制证券B,假如有价证券A的市场情况如下：PA=100，r=2%，