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1、第二章第二章 函数同步辅导函数同步辅导 第一讲映射与函数第一讲映射与函数 一、辅导内容 1 映射、一一映射的定义和概念的理解 2 函数的定义、表示。 3 函数的三要素及函数的表达方法。 二、重点、难点讲解 1 1映射、一一映射映射、一一映射 （1）集合 A 到集合 B 的映射有三个要素，即集合 A、集合 B 和对应法则.其中集合 Af 和集合是有先后顺序的，因为一般情况下 A 到 B 的映射和 B 到 A 的映射是不同的映射.而对 于集合 A 和集合 B 的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数， 可以是点，也可以是其他对象. （2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合
2、A 到集合 B 的映射：集合 A 中的每 一个元素（一个不漏地）在集合 B 中都有象（但集合 B 中的每一个元素不一定都有原象） ； 集合 A 中的每一个元素在集合 B 中的象只有唯一的一个（集合 B 中的元素在集合 A 中的 原象可能不止一个）.也就是说，图 1 和图 2 所示的两种对应不能称为映射. （3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有 原象，则这样的映射称为“集合 A 到集合 B 上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件， 要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合 A 到集合 B 上的一一映射”
3、. 例例 1 1 如图 3，集合 A=1、2、3、4、5，B=、.判断下列对应中，abcde （1）哪些是集合 A 到集合 B 的映射；(2)哪些是集合 A 到集合 B 上的映射；（3）哪些是集 合 A 到集合 B 上的一一映射. 图 3 1 2 3 4 5 a b c d e A B 1 2 3 4 5 a b c d e BA 1 2 3 4 5 a b c d e BA 1 2 3 4 5 a b c d e BA A B 图 1 A B 图 2 f1 f2 解（1）和是集合 A 到集合 B 的映射，中集合 A 的元素 3 在集合中没有象；中集合 A 的元素 3 在集合 B 中有两个象，
4、它们都不是映射. （2）是集合 A 到集合 B 上的映射.中集合 B 的元素 b 在集合 A 中没有原象. （3）是集合 A 到集合 B 上的一一映射. 例例 2 2 已知集合 A=，B=.判断下列各对应f是否是集合30 xx10 yy A 到集合 B 的映射？一一映射？并说明理由. (1):； (2) :；fxyx 3 1 fxyx 4 1 (3) :； (4) :；f 2 )2( xyxf 2 9 1 xyx (5) :f 2 ) 1( 4 1 xyx 解 （1）， . 因此对集合 A 的每一个元素，30 x1 3 1 0xx ，所以对应:是集合 A 到集合 B 的映射.Bxy 3 1 f
5、BA 对于集合 B 中的每一个元素，由及，有yyx310 y .即集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象，且这样的原象只30 , 330xy 有一个，所以对应:是一一映射.fBA （2）， .所以对于集合 A 中的每一个元素，在集30 x 4 3 4 1 0xx 合 B 中都有唯一的象，因此对应:是映射.fBA 而集合 B 中有些元素，如，在集合 A 中没有原象，因此映射:不是1yfBA 一一映射. （3）， ， .由此知集30 x122x4)2(0 2 x 合 A 的某些元素，如，在集合 B 中没有象，因此对应:不是映射，更不0xfBA 是一一映射. （4）， .因此对于集合 A 中
6、的每一个元素，在集30 x1 9 1 0 2 xx 合 B 中都有唯一的象，所以对应:是映射.fBA 由，对于集合 B 中的每一个元素，即集合 B 中的每一个 2 9 1 xy yAyx3 元素在集合 A 中有唯一的原象，因此映射:是一一映射.fBA （5）集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的象.对于集合 A 中的元素和0x ，都对应于集合 B 中的同一个元素，所以对应:是映射，但不是一一2x 4 1 fBA 映射. 2.2. 函函 数数 （1 1）函数的定义）函数的定义. . 在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统 定义.传统定义由研究变量的物
7、理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于 受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释. 因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种 定义的本质是一样的. 集合 A 到集合 B 的映射:要成为函数，还必须满足两个条件：集合fBA A、B 都是非空集合；集合 A、B 都是数的集合.其中集合 A 就是函数的定义域，而集合 B 不一定是值域.一般地说，值域 C 是集合 B 的子集，即.（若集合，则这个BC BC 映射就成为集合 A 到集合 B 上的映射）. （2 2）函数的三要素）函数的三要素. . 定义域 A，值域
8、 C 和定义域 A 到值域 C 的对应法则，构成了函数的三个要素.当且f 仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时， 主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. （3 3）区间）区间 设、，且.用闭区间表示集合，用开区间aRbba ba,bxax 表示集合，用半开半闭区间表示集合，用半),(babxax,(babxax 开半闭区间表示集合.),babxax （4 4）函数的表示法）函数的表示法. . 函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号和（为常数）的区别.一般情况下，是一个随自变)(xf)(afa)(xf 量的变化
9、而变化的变量，而是当自变量时函数的值，是一个确定的量.x)(afax 与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表 达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点， 一些线段，或一些曲线. 例例 3 3 判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由. (1) ， ； 2 )(xxf 2 )()(xxg (2) ， ；.)( 33 xxfxxg)( (3) ， ； 1 1 )( 2 x x xf1)( xxg (4) ， 1)( xxf );1( ,1 ),1( , 1 )( xx xx xg (5) ， ； 2 )(xxfxxg)(
10、(6) ， . 2 1)(xxf 2 1)(ttg 解 （1）不是同一个函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为和),( .), 0 （2）不是同一个函数，它们的对应法则和值域都不同. ，其值域为； ，其值域为.xxf)(),(xxg)(), 0 （3）不是同一个函数，它们的定义域不同.定义域分别为和), 1() 1,( .),( （4）不是同一个函数，它们的定义域不同，定义域分别是和),( .), 1 () 1 ,( （5）是同一个函数， .)()(xgxxf （6）是同一个函数，虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、值域和对应法则都 相同. 例例 4 4 已知 ， ，求 和 .32)(
11、 xxf12)( 2 xxg)(xgf)(xfg 解 =.)(xgf143) 12(23)(2 22 xxxg =.)(xfg192481) 32(21)( 2 222 xxxxf 评析 由此可见，在求时，只要用代替表达式中的，然后再将)(xgf)(xg)(xfx 的表达式代入其中，就可以求得.一般来说，.)(xg)(xgf)()(xfgxgf 例例 5 5 （1）已知 )(xf , 12 ,2 , 0 2 x 求，；)2(f) 1(f)0( ff) 2 2 (ff （2）已知 且， 求 . ),2(, 23 ),21(, ),1( , 32 )( 2 xx xx xx xg3)(tgt 解
12、（1）， .02 0)2(f ， .0111) 1(2) 1( 2 f .0)2()0( fff .2)0( 1) 2 2 (2) 2 2 ( 2 ffff (2)当； 当；当 132)(, 1xxgx40, 21 2 xx .423)(, 2xxgx . 3),2 , 1(3 . 3 , 3)(, 3)( 2 t tttgtg 例例 6 6 （1）画出函数的图像；34 2 xxy （2）画出函数的图像；34 2 xxy （3）已知函数的图像如右图，)(xfy 写出的解析式.)(xf 解 （1） 图 74 ).0( , 1)2( ),0( , 1)2( 34 2 2 2 xx xx xxy 0
13、1 1 -1 -1 y x (x 0), (x = 0), (x 0) 例如函数 f(x)= 是奇函数，但却不存在反函数。 -1 (x1,且),则 x 叫做 a 的 n 次方根. Nn 当 n 为奇数时，a 的 n 次方根是. n a 当 n 为偶数时，若 a0，a 的 n 次方根有 2 个，这两个方根互为相反数，即，其 n a 中正的一个叫做 a 的 n 次算术根；若 a=0，0 的 n 次方根只有一个，是 0；若 a0,b0,则有下列指数运算法则：Qsr, ； srsr aaa ； rssr aa)( . rrr baab)( 实际上上述法则当 r,s 为无理数时也成立. 例例 1 化简根
14、式： （1）； 34 3 8 3 3 16 1 5 4 1 6 8 5 15 （2）； （3）; 32 32 627 （4）.336 解（1） 34 3 8 3 3 16 1 5 4 1 6 8 5 15 = 34 3 8 27 16 81 4 25 8 125 =.2 2 3 2 3 2 5 2 5 （2）=. 32 32 32|32| 32 )32( 2 2 （3）=.627 16|16|) 16( 2 （4）=.336 2 33 2 )39( 2 27212 2 2 623 评析评析 化简形如的根式，若=，则ba2ba2yx .因此需要找出两个数 x,y，使它们满足关系式 xy=b 及 x+y=a.如xyyxba22 化简，因7+2=9，所以=|= 1429,14271429 2 )27(27 .27 例例 2 计算： （1）;) 13()32(10008 . 0 ) 4 1 6(25 . 0 01 3 2 2 1 1 （2）. 2 1 210112 )21() 12()35(42 nn
