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1、知识点复习知识点梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形： ， ， =（二）余弦定理：=（求边），cosB=（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：； ；（其中，r为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：，特别地，（五）ABC射影定理：，（六）三角边角关系：（1）在中，； ； （2）边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）大边对大角：考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1
2、、在ABC中，已知,且=2, ,求的长.例1、解：由正弦定理，得 又 由余弦定理，得 入，得例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值例2、【解】由于为正三角形的中心，设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值变式1、在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值变式1、解（）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 变式2、在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值； （II）若，求的值。 变式2、解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 （二）考
3、查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例3、解：设，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四边形OACB的面积为 S=SAOB+ SABC 因为，所以当，即时，四边形OACB面积最大例4、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小； （2）求ABC的面积例4、解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得c2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b
4、22ab25 由得ab6 SABC 变式3、已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的取值范围.变式3、解：（1）由得由余弦定理得 (2) = 即.（三）考查三角形形状的判断例5、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1） 判断ABC的形状；（2） 求ABC的面积。例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=
5、，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又ABC最小角的正弦值为，RtABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为SABC=16变式4、在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。变式4、解：（1）由 可得 即C90 ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是例7、在ABC中，已知，试判断ABC的形状。所以，ABC为等边三角形。变式8、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角
6、形 D等腰直角三角形，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B变式9、ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断ABC的形状。变式9、解:等腰直角三角形;数列知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当n2时的，（3）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，2.迭乘累乘法：，则，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学
7、教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数
8、列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1在数列中，求.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，求.【变式2】数列中，求通项
9、公式.类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.总结升华：1. 在数列中，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，求.【变式2】已知数列中，求通项公式.类型三：倒数法求通项公式3数列中，,，求.总结升华：1两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，
10、再求得.举一反三：【变式1】数列中，求.【变式2】数列中，,，求.类型四：待定系数法求通项公式4已知数列中，求.总结升华：1一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，求【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.类型五：和的递推关系的应用5已知数列中，是它的前n项和，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通
11、项公式及前n项和.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求的通项公式.【变式2】若, ()，求.【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的
12、位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（ ）A B C D【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A1.5万元 B2万元 C3万元 D2.5万元【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月 【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；
