《辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）数学（理）试题 含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）数学（理）试题 含解析（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学试题卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用的周期求解.【详解】由于，且的周期为4，所以原式=.故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1B. 5C. 6D. 无数个【答案】C【解析】【分析】直接列举求出A和A中元素个数得解.【详解】由题得，所以A中元素的个数为6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知
2、识的理解掌握水平和分析推理能力.3.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若非零向量满足，则的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得，所以.故选：D【点睛】本题主要考查
3、数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.己知数列是等差数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，所以考点：1、等差数列；2、三角函数求值.6.我国古代有着辉煌的数学研究成果周牌算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设所选2部专著
4、中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，所以，因此,故本题选A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.7.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.8.已知函数的图象如图所示，则的可能取值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得，由可得
5、，由（1）（3）可得可取【详解】的图象关于轴对称，为偶函数，（1）（3），取，则故选：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】令，判断其奇偶性单调性即可得出【详解】令，则，在上为奇函数，函数在上单调递增，化为：，即，化为：，即，解得实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题10.如图，在正四棱柱，中，底面边长
6、为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值【详解】以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，2，0，则，2，0，0，设平面的法向量为，则，令可得，1，故，直线与平面所成角的正弦值为，解得：故选：【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题11.已如是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点，若，记该双曲线的离心率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题先求得M的纵坐标，再列a,b,c的关系式求解
7、即可【详解】由题意得，该双曲线的一条渐近线为，将代入得，即， ， ，解得，故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，渐近线方程，离心率求解，准确计算是关键，是基础题12.已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当
8、时，所以方程可以化为：，即，记，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题.13.已知球的内接圆锥体积为之，其底面半径为1，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：本题正确结果：【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，
9、关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.14.若，则的展开式中常数项为_【答案】【解析】【分析】先由微积分基本定理求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为；所以的展开式的通项公式为：，令，则，所以常数项为.故答案为【点睛】本题主要考查微积分基本定理和二项式定理，熟记公式即可求解，属于基础题型.15.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，正三角形，又，所以轴，设，则，即，故答案为.
10、【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解16.数列的前项和为，且，则数列的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由配方法求数列的最小值【详解】由，得，当时，适合上式，则当时故答案为：【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在中，角的对边分别为，且满足（其中）（1）求证：；（2）若，求的取值范围【答案】
11、（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，由正弦定理，二倍角公式可得，可证A=2B；（2）由两角和的正弦函数公式可得（B），由范围，可得，利用正弦函数的图象和性质即可得解【详解】（1）由已知，两边同时除以，得化简，得由正弦定理和余弦定理，得解得，所以A=2B或所以A=2B或B=C又因为，所以A=2B（2）由得由，解得,所以，所以【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元
12、减50元；方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【答案】（1）（2）方案二更为划算【解析】【分析】（1）设事件为“顾客获得半价”，可以求出，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的
13、概率；（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额元的可能取值，求出，最后进行比较得出结论.【详解】（1）设事件为“顾客获得半价”，则，所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：（2）若选择方案一，则付款金额为若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为，所以方案二更为划算【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角余弦值【答案】（1）见证明；（2）.【解析】【分析】（1）通过侧面底面，可以证明出面，这样可以证明出，再利用平面，可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明出面，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面；（2）利用三棱锥体积公式可得，利用基本不等式可以求出三棱锥体积最大值，此时可以求出的长度，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系求出相应点的坐标，求出面的一个法向量，面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当
