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1、1,第五章 弯曲应力,2,回顾与比较,内力,应力,3,纯 弯 曲,横力弯曲,横截面上只有M、没有Fs的弯曲,横截面上既有M、又有Fs的弯曲,5.1 纯弯曲,s,Fa,M,4,有限元计算的轴向应变,纯弯曲时梁的正应力,5,上层纤维缩短，下层纤维伸长。,横向线仍为直线， 相对旋转了一角度。,纵向线弯成了相互平行的弧线，仍与横向线垂直。,5.2 纯弯曲时的正应力,1. 变形几何关系,试验观察：,6,假设：,(1) 横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线,横截面上只有正应力,横截面上同一高度的正应力相等,平面假设,(2) 纵向纤维间无挤压,处于简单拉伸或压缩状态,(3) 同一高度上的纤维的变形相同,7,
2、中性层,中性轴,既不伸长、也不缩短的纤维层,横截面,各横截面绕中性轴旋转,中性轴,横截面与中性层的交线,两个名词：,中性层,8,2. 物理关系,1. 变形几何关系,9,但是中性层在什么位置？,10,3. 静力关系,横截面上的微力，dA组成平行于x轴的空间平行力系，这个力系只可能简化为：,11,z 轴必须通过横截面的形心。,自然满足。,EIz 梁的抗弯刚度，,反映梁抵抗弯曲变形的能力。,12,正应力公式,变形几何关系：,物理关系：,静力学关系：,为梁弯曲变形后的曲率。,为曲率半径，,纯弯曲时梁的正应力,13,正应力分布,中性轴上=0，中性轴又称为零应力线。,沿横截面宽度方向均匀分布。,14,弯曲
3、正应力公式适用范围,纯弯曲梁或细长梁的横力弯曲；,横截面惯性积 IYZ = 0,具对称截面；,线弹性变形阶段；,适用范围,15,常见弯曲构件截面,16,最大值和最小值,抗弯截面系数,17,常见截面的 IZ 和 W,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,18,6-2,5.3 横力弯曲时的正应力,19,纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设， 纵向纤维间无挤压。,对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不成立。剪应力（分布不均匀）的存在对正应力分布规律有影响。,20,横力弯曲正应力公式,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式
4、对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,21,例: 悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求：,(1) 1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。,(2) 求梁上最大正应力。,4m,3m,15kN,20kNm,A,C,B,D,1m,1,1,50,A,B,D,y,x,C,30,90,150,150,90,22,解：(1) 画出梁的弯矩图,4m,3m,15kN,20kNm,A,C,B,D,1m,M,25,20,(kNm),1,1,机械类,23,解：(1) 画出梁的弯矩图,4m,3m,15kN,20kNm,A,C,B,D,1m,M,25,20,(kNm),1,1,土木类,24,50,A,B,D,y,x,
5、C,30,90,150,150,90,(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。,25,（在中性轴上）,50,A,B,D,y,x,C,30,90,150,150,90,26,(3) 求最大正应力,对任一截面而言，最大正应力发生在最上缘或最下缘，对全梁而言，最大正应力发生在最大弯曲所在面的最上或最下缘。这个面通常称为“ 危险截面”。,27,最大拉应力在最上缘，最大压应力在最下缘。,M,25,20,(kNm),如果要求曲率半径，怎么算？,28,例: 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。,q =10kN/m,P=20kN,A,B,C,D,2m,3m,1m,200,170,85,85,30,30,29,解
6、：(1) 确定截面中性轴的位置，以及Iz值。,30,(2) 画弯矩图,31,+,+,(3) 求最大拉应力与最大压应力,分析B、C两截面,B截面,C截面,显然,（最大正负弯矩所在面）,20kNm,10kNm,+,土木类,32,20kNm,10kNm,+,+,+,(3) 求最大拉应力与最大压应力,分析B、C两截面,B截面,C截面,B,C,显然,（最大正负弯矩所在面）,机械类,33,比较,34,最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。,1.中性轴为对称轴时，Lmax与Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上。,2.中性轴为非对称轴时，Lmax与Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+ma
7、x或M-max所在的面上。,35,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径,1. 求支反力,（压应力）,解：,例题（机械类）,简支梁几何尺寸如图,其上作用分布载荷,求:,36,2. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,37,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,38,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,39,6-3,实践表明：,有些梁是因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏,跨度小的木梁,有些梁则是因剪应力达到抗剪强度而破坏,(1) 梁端横截面上的剪力较大,例如：,破坏原因：,(2)
8、 木梁沿木纹方向的抗剪能力较弱,5.4 弯曲切应力,40,以矩形截面梁为例,6-3,两个假设,(1)剪应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；,(2)剪应力沿横截面宽度均匀分布。,41,6-3,取微段dx,42,6-3,43,6-3,44,6-3,由剪应力互等定理：,所求切应力点一侧面积 对中性轴的静矩。,45,6-3,46,矩形截面梁的剪应力,6-3,矩形截面梁剪应力横向分布 窄长矩形截面,47,矩形截面梁的剪应力,6-3,矩形截面梁剪应力横向分布 中等宽度矩形截面,48,矩形截面梁的剪应力,6-3,矩形截面梁剪应力横向分布 宽矩形截面,49,几种常见截面的最大弯曲剪应力,工字钢截面：,结论
9、： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的 tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 。故工字钢最大剪应力,Af 腹板的面积。,50,圆截面：,51,薄壁圆环：,以及箱型等薄壁截面梁，请自己看书。,52,53,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下 边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴 处。,5.5 梁的正应力和剪应力强度条件,54,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况 与上述相同；还有一个可能危险的点，在Fs和M 均很 大的截面的腹、翼相交处。,55,弯曲正应
10、力与弯曲切应力比较,当 l h 时，smax tmax,所以，在强度问题中，正应力起主要作用，通常只考虑正应力强度条件。,56,弯曲正应力强度条件,1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑M与Iz 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑：,57,（1）z轴为横截面的对称轴时 (如矩形、圆形、工字等),（2）z轴不是对称轴时(如T字形、梯形等),5.中性轴是否是对称轴的影响,58, 校核强度, 设计截面, 计算最大荷载,3、强度条件应用：可进行三种强度计算。,59,4、需要校核剪应力的几种特殊情况： （1）梁的跨度较短，M 较小，而Fs较大时，要校核剪应力； （2
11、）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力； （3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,60,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可剪应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按剪应力强度条件计算许可载荷,解：,例题（机械类）,61,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,62,例: 图示吊车梁若起吊重量P=30kN,吊车梁跨度l=8m,梁材料的=120MPa,=60MPa.若由工字钢制成,试选择工字钢的型号.,解: 吊车
12、梁可简化成简支梁., 按正应力强度条件确定梁截面: 当载荷作用于梁中点时,梁的弯矩最大,强度条件:,查型钢表:28a工字钢,63, 校核最大剪应力作用点的强度: 当小车移至支座处时梁内剪力最大.,强度条件:,由型钢表得28a工字钢的,本例结果表明,梁中最大剪应力是较小的.这是因为在设计型钢时,已令腹板有足够的厚度,以保证剪应力的强度。,故选用28a工字钢时梁的正应力、剪应力强度足够.,64,例: 由于生产的需要欲使上题中吊车梁能起吊P=45kN的重量.为此,在梁中段工字钢的上下缘各焊一块相同的钢板.其他条件同上. 试校核危险截面的强度; 求焊接钢板的长度.,例: 图示吊车梁若起吊重量P=30k
13、N,吊车梁跨度l=8m,梁材料的=120MPa,=60MPa.若由工字钢制成,试选择工字钢的型号.,解: 求截面 的惯性矩,由型钢表28a工字钢,加焊钢板后截面的,65, 校核危险面的强度 当载荷作用于梁的中点时,梁的最大弯矩为:,所以,加焊钢板后,梁在危险面的强度是安全的。,66, 求钢板的长度,设梁左端A到焊接钢板端点的距离为x,当载荷作用在此处时,此截面的弯矩最大.,在没焊接钢板处,28a工字钢能承受的弯矩为:,令,解得:,故钢板长度不应小于,67,例: 图示简支梁，为矩形截面木梁，承受均布荷载q=3.6kN/m，其截面尺寸为 b=120mm, h=180mm。 梁的计算跨度L=5m。
14、所用木材的许用应力=10MPa ，求：,q,L,120,180,68,(1) 校核梁的强度；,(2) 确定许用荷载；,(3) 若强度不够，则试按b/h=2/3重新设计梁的截面尺寸。,69,解：(1) 校核梁的强度,梁的抗弯截面模量为：,q,L,120,180,q=3.6kN/m,b=120mm,h=180mm,L=5m,=10MPa,11.5kNm,+,M,土木类,70,解：(1) 校核梁的强度,梁的抗弯截面模量为：,q,L,120,180,11.5kNm,+,M,q=3.6kN/m,b=120mm,h=180mm,L=5m,=10MPa,机械类,71,梁的最大正应力为：,故此梁强度不够。,72,(2) 确定许用荷载,根据强度条件得：,q=3.6kN/m,b=120mm,h=180mm,L=5m,=10MPa,73,(3) 因强度不够，重新设计截面,b/h=2/3,=10MPa,74,解：画弯矩图并求危面内力,T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心 位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布图，找危险点,例题,75,校核强度,T字头在上面合理。,76,例:
